bon t'as raison pelikano,
je vais donner une solution détaillée!
cherhcons les solutions constantes.
f(x)=c ==> c=0 ou c=0.
dorénavant supposons que f n'est pas identiquement égale à
0 ou 2.
maintenant prouvons que f(n)=n pour tout n£IN.
pour n=0.
x=y=0 ==>f(0)+f(0)²=+3f(0)
==>f(0)=0 ou f(0)=2
si f(0)=2 alors:
y=0 ==> f(x)+2f(x)=2f(0)+f(x)
==> f(x)=2 pour tout x£IR,absurde!!
ainsi f(0)=0.
supposons pour un certain rang n que f(n)=n et montrons
que f(n+1)=n+1.
x=n et y=1 ==> f(n+1)+f(n)f(1)=f(n)+f(n)+f(1)
==> f(n+1)=n+1
montrons aussi que f(nx)=nx pour tout n£IN et x£IR.
encore par une simple récurrence!!
montrons que f(r)=r
r£Q <==>Il existe (p,q)£(Z,IN*) tel que r=p/q.
x=p/q et y=q==> f(p/q+q)+f(p/q)f(q)=f(p)+f(p/q)+f(q)
==>f(p/q)+q+qf(p/q)=p+f(p/q)+q
==>f(p/q)=p/q
montrons d'abord que f(r+x)=r+x pour tout r£Q et x£IR.
r£Q <==>Il existe (p,q)£(Z,IN*) tel que r=p/q.
x=qy et x=p/q ==> f(qy+p/q)+f(p/q)f(yq)=f(py)+f(qy)+f(p/q)
==>f(qy+p/q)+pf(y)=pf(y)+qf(y)+p/q
==>f(qy+p/q)=f(yq)+p/q
on pose qy=x ce qui donne le résultat.
de mème on montre que f(rx)=rx pour tout r£Q et x£IR.
alors si on pose r=-1 ==>f(-x)=-f(x)
y=-x ==>f(x²)=f(x)²>=0 alors f est >=0 pour tout x>=0.
pour passer de Q à IR on va user un truc qui se base sur la
r
densité de Q dans IR.
alors supposons que f(x)<x ppour tout x>=0.
il existe un r£Q tel f(x)<r<x et x-r>=0.
d'où r>f(x)=f(x-r)+r>=r car f(x-r)>=0.absurde!!
de mème l'autre cas se discute de la mème manière.
réciproquement f(x)=x est une solution.
en somme les seules fonctions qui vérifient l'équation est
f(x)=x,f(x)0 et f(x)=2
Accueil 
