IMO 2008 <==>cet exo

trouver tt les fonctions f:=IR-->IR tq :
f(f(x)+y)=f(x²-y)+4f(x)y

salut ;
c'est la première fois que j'aborde ce genre d'exercice
y=0 ==> f(f(x))=f(x²)
(y=f(x)-x² et x=x²) ==> f(x²)=f(f(x))-4f(x²)(x²-f(x)) <==> 4f(x²)(x²-f(x))=0 <==>( f(x)=0 ou f(x)=x² )
réciproquement les deux fonctions vérifient les conditions de l'équation .
je ne pense pas que ça soit un exo de l'imo 2008

hmmmmmmmm badr t'as commis le mème erreur car le l'astuce de l'exo est de montrer qu'il n'exite pas un intervalle où f prend les deux valeurs 0 et x² à la fois et c'est présque le mème truc de l'exo 4 de l'IMO.

y=0 ==> f(f(x))=f(x²) qqs x
x=0 et y=-f(0) ==> f(0)=f(f(0))-4f(0)²=f(0)-4f(0)² ==> f(0)=0
x=0 ==> f(y)=f(-y) ==> f paire.
x=y=1 ==> f(f(1)+1)=4f(1)
x=1 et y=-f(1) ==> 0=f(1+f(1))-4f(1)² ==> f(1)²=f(1)

si f(1)=0,
x=1 ==> f(y)=f(1-y)=f(y-1)
y=1 ==> f(f(x)+1)=f(x²-1)+4f(x)=f(x²)+4f(x)=f(-f(x))=f(f(x))=f(x²) ==> f(x)=0

Si f(1)=1,
si f(a)=0, x=a==> f(y)=f(a²-y)=f(y-a²) qqs y
x=1, y=a² ==> f(1+a²)=f(1-a²)+4a²=1+4a²=f(-1)=1 ==> a=0
Donc, f s'annule qu'en 0. (*)

y=x² ==> f(f(x)+x²)=4x²f(x)
y=-f(x) ==> 0=f(x²+f(x))-4f(x)²
==> x²f(x)=f(x)²
==> f(x)=x² qqs x non nul d'aprés (*)
comme f(0)=0, alors f(x)=x² qqs x

non monsieur attioui,
x²f(x)=f(x)² ==>f(x)(f(x)-x²)=0
==>f(x)=0 ou f(x)=x²

(je suis plus un monsieur,je suis juste un jeun garçon qui n' pas

dépasser le 20 ans),encore il y a qq choses qui cloche (amicalement )

dans votre démonstration Monsieur Attioui car la fonction f(x)=0 pour tout

x de IR est une solution.

voici ce que je propose comme solution.


démonstration:

on pose:

P(x,y):f(f(x)+y)=f(x²-y)+4f(x)y

alors:

P(x,x²):f(f(x)+x²)=f(x²-x²)+4f(x)x²=f(0)+4f(x)x²(1)

P(x,-f(x)):f(f(x)-f(x))=f(x²-f(x))-4f(x)²(2)

(1)+(2) ==>4f(x)(f(x)-x²)=0

==>f(x)=0 ou f(x)=x²

mantenant il nous faut montrer qu'il n'exsite pas un intervalle

où f ne prend pas des combinaisons entre 0 et x².

soit m#0 tel que f(m)=0.

alors:

P(m,y):f(f(m)+y)=f(m²-y)+4f(m)y

P(m,y):f(y)=f(m²-y).

si mnt on prend y#m²/2 alors y²#(m²-y)² alors

f(y)=f(m²-y)=0.

ainsi on a pu montrer que pour tout y#m²/2 que f(y)=0.

si on prend x=2m il vient que f(m²/2)=0.

ce qui montre que pour tout x de IR f(x)=0,et l'autre cas se

démontre de la mème manière.

f(x)=x² pour tout x de IR.