BJR à Toutes et Tous !!
Tout d'abord , la Règle de L'Hospital n'est pas au programme du BACSM encore moins du 1BAC !
Donc à ne pas utiliser en DM ni en DS encore moins à un Exam !!
Si vous connaissez BIEN cette règle , vous pouvez l'utiliser ( au brouillon ) pour contrôler si votre résultat est vrai ou non .
Maintenant pour votre Exo , voici une ébauche de solution adaptée à votre niveau !!!!
Un peu de TRIGO et la connaissance de cette limite incontournable Lim {sinA}/A=1 lorsque A -----> 0 A<>0
On fait le changement de variable h=5-x ( Merci imane20 !!! )
Donc faire tendre x vers 5 , revient à faire tendre h vers 0
On a alors x=5-h puis
1-sin{Pi.x/10}=1-sin{(Pi/2)-(Pi.h/10)}
=1-cos{Pi.h/10}
Quelques rappels de TRIGONOMETRIE :
1) sin{(Pi/2)-a}=cos(a) pour tout a dans IR
2) cos(2a)=2.cos^2(a)-1=1-2.sin^2(a) pour tout a dans IR
de laquelle , il résulte que :
1-cos(2a)=2.sin^2(a)
Par suite :
1-sin{Pi.x/10}=1-cos{Pi.h/10}=1-cos{2.(Pi.h/20)}
=2.sin^2{Pi.h/20}
Maintenant que l’on a fait ces transformations , on peut écrire :
{1-sin{Pi.x/10}}/{(5-x)^2}={2.sin^2{Pi.h/20}}/{h^2}
=2.{{sin(Pi.h/20)}/h}^2
On va faire apparaître l’expression sinA/A avec une quantité A qui tend vers 0 afin d’utiliser la limite classique :
Lim {sinA}/A =1 lorsque A tend vers 0 .
C’est assez facile , on pose A=(Pi.h)/20 donc h=(20.A)/Pi et :
{1-sin{Pi.x/10}}/{(5-x)^2}={2.sin^2{Pi.h/20}}/{h^2}
=2.{{sin(Pi.h/20)}/h}^2 = 2.{(Pi/20).(sinA)/A}^2
=2.{(Pi)^2/400}.{sin(A)/A}^2
Maintenant , on peut faire tendre A vers 0 alors , la limite de
2.{(Pi)^2/400}.{sin(A)/A}^2 est bien (Pi)^2/200
puisque sin(A)/A tend vers 1 !!!!!!!!!!!!!
LHASSANE
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