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 problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006

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samir
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MessageSujet: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 12:32


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 12:32

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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pilot_aziz
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 12:59

j'ai trouvé la solution

solution postée

je pense que tu voulais dire some de p=1 à p=n-1


voici la solution de Pilot aziz

=


Dernière édition par le Lun 24 Juil 2006, 14:48, édité 2 fois
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pco
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Masculin Nombre de messages : 678
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 13:10

Bonjour,

Solution postée
voici la solution de pco


Bonjour,

Il s'agit de calculer S(n) = sum_{p=1,n}(sum_{q=p+1,n} (pq))

En préambule, rappelons :
sum_{p=1,n}(p) = n(n+1)/2
sum_{p=1,n}(p^2) = n(n+1)(2n+1)/6
sum_{p=1,n}(p^3) = n^2(n+1)^2/4

Dès lors :
sum_{q=p+1,n} (pq) = p sum_{q=p+1,n} (q) = p(n+p+1)(n-p)/2 = (-p^3 - p^2 +
n(n+1)p)/2
Et :
S(n) = sum_{p=1,n}((-p^3 - p^2 + n(n+1)p)/2)
= - sum_{p=1,n}(p^3)/2 - sum_{p=1,n}(p^2)/2 + n(n+1)sum_{p=1,n}(p)/2
= n(n-1)(n+1)(3n+2)/24

--
Patrick
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thomas
Maître


Nombre de messages : 81
Age : 30
Date d'inscription : 08/07/2006

MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 13:41

bonjour,

solution postée

Thomas
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 14:20

Bonjour,
solution postée
Voici la solution d'abdelbaki.attioui
On pose S_a(n)=(somme de p=1 à n) p^a.
Il est bien connu que:
S_1(n)=n(n+1)/2
S_2(n)=n(n+1)(2n+1)/6
S_3(n)=n²(n+1)²/4=S_1(n)²
On a : S=(somme de p=1 à n)p(S_1(n)-S_1(p))
<==> S= S_1(n)²-(somme de p=1 à n)p²(p+1)/2
<==> S= S_1(n)²-S_3(n)/2-S_2(n)/2= (S_3(n)-S_2(n))/2
<==> S= n(n+1) ( n(n+1)/2 -(2n+1)/3)/4
<==> S= n(n+1)(3n²-n-2)/24=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
<==> S= n(n²-1)(3n+2)/24
A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
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Yalcin
champion de la semaine


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Date d'inscription : 19/09/2005

MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 17:58

BoNjOuR sOlUtIoN pOsTeE
voici la solution deYalcin

S=∑(∑(pq,q=p+1..n),p=1..n)
S=∑(p∑(q,q=p+1..n),p=1..n)
S=∑(p(∑(q,q=1..n)-∑(q,q=1..p)),p=1..n)
S=∑(p(n(n+1)/2-p(p+1)/2),p=1..n)
S=[n(n+1)/2]²-∑(p²(p+1)/2,p=1..n)
S=[n(n+1)/2]²-(1/2)[n(n+1)/2]²-(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6]
S=(1/24)(n-1)n(n+1)(3n+2)
:-)

a+
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Bouchra
Débutant


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Date d'inscription : 02/11/2005

MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 10 Juil 2006, 18:16

Bonjour,
Solution postée .
voici la solution de Bouchra
Calcul bête et méchant:
S = sum_(p=1..n) (p sum_(q=p+1..n) (q))
S = sum_(p=1..n) (p [n(n+1)/2 - p(p+1)/2]
S = (n(n+1)/2) sum_(p=1..n) p - (1/2) [ sum_(p=1..n) p^3 +sum_(p=1..n) p^2 ]
S = [n(n+1)/2]^2 -(1/2) [n(n+1)/2]^2 - (1/2) n(n+1)(2n+1)/6
S = (1/2) n(n+1)/2 [n(n+1)/2 -(2n+1)/3]

S = n(n+1)(3n^2-n-2)/24 = n(n-1)(3n^2+5n+2)/24

(sauf erreur)
--
Bouchra
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khamaths
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Mar 11 Juil 2006, 10:11

bonjour
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

S=\Sigma _{p=1}^{p=n}p(n-p)(p+n+1)/2
2S =n(n+1) sigma_{p=1}^{p=n}{p} -sigma_{p=1}^{p=n}{p²} -sigma _{p=1}^{p=n}{p^3}
2S = n²(n+1)²/2 -n(n+1)(2n+1)/6 -n²(n+1)²/4

conclusion: S = n( n²-1)(3n+2) /24

sauf erreur...
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kalm
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Mar 11 Juil 2006, 15:11

solution postee
voici la solution de Kalm
on a Sad somme de p=1 jusqu'a n)(somme de p=q+1 jusqu'a n)pq
<=> Sad somme de p=1 jusqu'a n)[(p+1+p+2+...+n)p]
<=> Sad somme de p=1 jusqu'a n)[(n-1)p+n(n+1)/2)p]
<=>(n-1)( somme de p=1 jusqu'a n)p^2+ n(n+1)/2)(somme de p=1 jusqu'a n)p
<=> (n-1)n(n+1)(2n+1)/6 + [n(n+1)/2]^2
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Mer 12 Juil 2006, 11:19

Bonjour;
Solution postée farao
voici la solution d'elhor abdelali
Bonjour;
Je crois qu'il s'agit effectivement de la somme :
S = Somme(1<= p <= n-1) ( Somme(p+1<= q <= n) pq ) où n>1
C'est une somme finie et on a par inversion:
S = Somme(2<=q <= n) [q( Somme(1<= p <= q-1) p )]
= (1/2) Somme(2<=q <= n) [q²(q-1)]
= (1/2) Somme(1<=q <= n) (q3 - q²)
= (1/2)(n(n+1)/2 )² - (1/2)n(n+1)(2n+1)/6
soit aprés simplification
S=(n-1)n(n+1)(3n+2)/24
(Sauf erreur bien entendu)

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bhdih
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MessageSujet: Bonjour   Mer 12 Juil 2006, 17:42

Bonjour,

Solution postée...!!!
voici la solution de bhdih
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Rodman
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Mer 12 Juil 2006, 22:16

solution postée
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Ven 14 Juil 2006, 13:50

Salam
Solution postée bounce
voici la solution de Mahdi
p=n(n+1)/2
q=n(n+p+1)/2
alors S=n²(n+1)(n+p+1)/4
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bhdih
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MessageSujet: Et alors ?   Ven 14 Juil 2006, 15:48

Bonjour les matheux...

Nos solutions sont déjà postées mais comment échanger ces solutions ? et avec qui ? alien
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Ven 14 Juil 2006, 19:19

bhdih a écrit:
Bonjour les matheux...

Nos solutions sont déjà postées mais comment échanger ces solutions ? et avec qui ? alien
tu dois attendre la fin de la semaine c'est à dire le lundi 17/07/2006 pou voir les solutions

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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Sam 15 Juil 2006, 12:03

Salam,

Solution postée Smile
voici la solution de GOOOOD
Salam,

On a donc :
S=Sigma(p=1->n)Sigma(q=p+1->n)pq
=Sigma(p=1->n)pSigma(q=p+1->n)q
=Sigma(p=1->n)p(Sigma(q=1->n)-Sigma(q=1->p))
=Sigma(p=1->n)p(n(n+1)/2-p(p+1)/2))
=(n(n+1)/2)^2-Sigma(p=1->n)p^2(p+1)/2

Considérons un polynôme du 4ème degré tel que :
f(x)-f(x-1)=x^2(x+1)/2
ax^4+bx^3+cx^2+dx-a(x-1)^4-b(x-1)^3-c(x-1)^2-d(x-1)=(1/2)x^3+(1/2)x²

Tout calcul fait, on obtient :
a=1/8, b=5/12, c=3/8 et d=1/12.

Notre somme serait donc (si je ne trompe) :
S=n^4/8+n^3/12-n^2/8-n/12.
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bhdih
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MessageSujet: Oui   Sam 15 Juil 2006, 16:22

D'accord !
Je dois attendre jusqu'au 17/07/2006..... Embarassed
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 17 Juil 2006, 00:05

cheers aujourd'hui 17/07/2006
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 17 Juil 2006, 00:39

chouchou a écrit:
cheers aujourd'hui 17/07/2006
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 17 Juil 2006, 00:43

qu'est ce que tu veux dire mahdi Question
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 17 Juil 2006, 00:44

Question
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 17 Juil 2006, 01:00

hahahahhaa pourquoi tu repetes les messages ?????
en fait je voulus dire la meme chose mais sans répéter alors j'ai cité ta phrase s'il ya un probleme je suis desolé.
T'inquietes pas !! la prochaine tu mets a coté de ton message "copyright chouchou all rights reserved 2006" Laughing Laughing Laughing Laughing Laughing Laughing
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bhdih
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MessageSujet: bhdih   Lun 17 Juil 2006, 10:48

Afficher les réponses SVP...!!! king
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   Lun 17 Juil 2006, 11:32

merci pour les renseignements
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   

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