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 problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006

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samir
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samir


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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 12:32

problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Semainen373wk
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samir
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samir


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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 12:32

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci
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pilot_aziz
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 12:59

j'ai trouvé la solution

solution postée

je pense que tu voulais dire some de p=1 à p=n-1


voici la solution de Pilot aziz

problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 130203291ab6ed178146d403e3509742 = problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 130203291ab6ed178146d403e3509742


Dernière édition par le Lun 24 Juil 2006, 14:48, édité 2 fois
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pco
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 13:10

Bonjour,

Solution postée
voici la solution de pco


Bonjour,

Il s'agit de calculer S(n) = sum_{p=1,n}(sum_{q=p+1,n} (pq))

En préambule, rappelons :
sum_{p=1,n}(p) = n(n+1)/2
sum_{p=1,n}(p^2) = n(n+1)(2n+1)/6
sum_{p=1,n}(p^3) = n^2(n+1)^2/4

Dès lors :
sum_{q=p+1,n} (pq) = p sum_{q=p+1,n} (q) = p(n+p+1)(n-p)/2 = (-p^3 - p^2 +
n(n+1)p)/2
Et :
S(n) = sum_{p=1,n}((-p^3 - p^2 + n(n+1)p)/2)
= - sum_{p=1,n}(p^3)/2 - sum_{p=1,n}(p^2)/2 + n(n+1)sum_{p=1,n}(p)/2
= n(n-1)(n+1)(3n+2)/24

--
Patrick
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thomas
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Age : 37
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 13:41

bonjour,

solution postée

Thomas
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 14:20

Bonjour,
solution postée
Voici la solution d'abdelbaki.attioui
On pose S_a(n)=(somme de p=1 à n) p^a.
Il est bien connu que:
S_1(n)=n(n+1)/2
S_2(n)=n(n+1)(2n+1)/6
S_3(n)=n²(n+1)²/4=S_1(n)²
On a : S=(somme de p=1 à n)p(S_1(n)-S_1(p))
<==> S= S_1(n)²-(somme de p=1 à n)p²(p+1)/2
<==> S= S_1(n)²-S_3(n)/2-S_2(n)/2= (S_3(n)-S_2(n))/2
<==> S= n(n+1) ( n(n+1)/2 -(2n+1)/3)/4
<==> S= n(n+1)(3n²-n-2)/24=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
<==> S= n(n²-1)(3n+2)/24
A+
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Yalcin
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 17:58

BoNjOuR sOlUtIoN pOsTeE
voici la solution deYalcin

S=∑(∑(pq,q=p+1..n),p=1..n)
S=∑(p∑(q,q=p+1..n),p=1..n)
S=∑(p(∑(q,q=1..n)-∑(q,q=1..p)),p=1..n)
S=∑(p(n(n+1)/2-p(p+1)/2),p=1..n)
S=[n(n+1)/2]²-∑(p²(p+1)/2,p=1..n)
S=[n(n+1)/2]²-(1/2)[n(n+1)/2]²-(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6]
S=(1/24)(n-1)n(n+1)(3n+2)
:-)

a+
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Bouchra
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Date d'inscription : 02/11/2005

problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 10 Juil 2006, 18:16

Bonjour,
Solution postée .
voici la solution de Bouchra
Calcul bête et méchant:
S = sum_(p=1..n) (p sum_(q=p+1..n) (q))
S = sum_(p=1..n) (p [n(n+1)/2 - p(p+1)/2]
S = (n(n+1)/2) sum_(p=1..n) p - (1/2) [ sum_(p=1..n) p^3 +sum_(p=1..n) p^2 ]
S = [n(n+1)/2]^2 -(1/2) [n(n+1)/2]^2 - (1/2) n(n+1)(2n+1)/6
S = (1/2) n(n+1)/2 [n(n+1)/2 -(2n+1)/3]

S = n(n+1)(3n^2-n-2)/24 = n(n-1)(3n^2+5n+2)/24

(sauf erreur)
--
Bouchra
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khamaths
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyMar 11 Juil 2006, 10:11

bonjour
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

S=\Sigma _{p=1}^{p=n}p(n-p)(p+n+1)/2
2S =n(n+1) sigma_{p=1}^{p=n}{p} -sigma_{p=1}^{p=n}{p²} -sigma _{p=1}^{p=n}{p^3}
2S = n²(n+1)²/2 -n(n+1)(2n+1)/6 -n²(n+1)²/4

conclusion: S = n( n²-1)(3n+2) /24

sauf erreur...
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kalm
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kalm


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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyMar 11 Juil 2006, 15:11

solution postee
voici la solution de Kalm
on a Sad somme de p=1 jusqu'a n)(somme de p=q+1 jusqu'a n)pq
<=> Sad somme de p=1 jusqu'a n)[(p+1+p+2+...+n)p]
<=> Sad somme de p=1 jusqu'a n)[(n-1)p+n(n+1)/2)p]
<=>(n-1)( somme de p=1 jusqu'a n)p^2+ n(n+1)/2)(somme de p=1 jusqu'a n)p
<=> (n-1)n(n+1)(2n+1)/6 + [n(n+1)/2]^2
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elhor_abdelali
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elhor_abdelali


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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyMer 12 Juil 2006, 11:19

Bonjour;
Solution postée farao
voici la solution d'elhor abdelali
Bonjour;
Je crois qu'il s'agit effectivement de la somme :
S = Somme(1<= p <= n-1) ( Somme(p+1<= q <= n) pq ) où n>1
C'est une somme finie et on a par inversion:
S = Somme(2<=q <= n) [q( Somme(1<= p <= q-1) p )]
= (1/2) Somme(2<=q <= n) [q²(q-1)]
= (1/2) Somme(1<=q <= n) (q3 - q²)
= (1/2)(n(n+1)/2 )² - (1/2)n(n+1)(2n+1)/6
soit aprés simplification
S=(n-1)n(n+1)(3n+2)/24
(Sauf erreur bien entendu)

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bhdih
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MessageSujet: Bonjour   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyMer 12 Juil 2006, 17:42

Bonjour,

Solution postée...!!!
voici la solution de bhdih
problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Bhdihze9
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Rodman
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyMer 12 Juil 2006, 22:16

solution postée
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Weierstrass
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyVen 14 Juil 2006, 13:50

Salam
Solution postée bounce
voici la solution de Mahdi
p=n(n+1)/2
q=n(n+p+1)/2
alors S=n²(n+1)(n+p+1)/4
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bhdih
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MessageSujet: Et alors ?   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyVen 14 Juil 2006, 15:48

Bonjour les matheux...

Nos solutions sont déjà postées mais comment échanger ces solutions ? et avec qui ? alien
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyVen 14 Juil 2006, 19:19

bhdih a écrit:
Bonjour les matheux...

Nos solutions sont déjà postées mais comment échanger ces solutions ? et avec qui ? alien
tu dois attendre la fin de la semaine c'est à dire le lundi 17/07/2006 pou voir les solutions
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptySam 15 Juil 2006, 12:03

Salam,

Solution postée Smile
voici la solution de GOOOOD
Salam,

On a donc :
S=Sigma(p=1->n)Sigma(q=p+1->n)pq
=Sigma(p=1->n)pSigma(q=p+1->n)q
=Sigma(p=1->n)p(Sigma(q=1->n)-Sigma(q=1->p))
=Sigma(p=1->n)p(n(n+1)/2-p(p+1)/2))
=(n(n+1)/2)^2-Sigma(p=1->n)p^2(p+1)/2

Considérons un polynôme du 4ème degré tel que :
f(x)-f(x-1)=x^2(x+1)/2
ax^4+bx^3+cx^2+dx-a(x-1)^4-b(x-1)^3-c(x-1)^2-d(x-1)=(1/2)x^3+(1/2)x²

Tout calcul fait, on obtient :
a=1/8, b=5/12, c=3/8 et d=1/12.

Notre somme serait donc (si je ne trompe) :
S=n^4/8+n^3/12-n^2/8-n/12.
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bhdih
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problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty
MessageSujet: Oui   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptySam 15 Juil 2006, 16:22

D'accord !
Je dois attendre jusqu'au 17/07/2006..... Embarassed
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 00:05

cheers aujourd'hui 17/07/2006
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 00:39

chouchou a écrit:
cheers aujourd'hui 17/07/2006
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 00:43

qu'est ce que tu veux dire mahdi Question
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 00:44

Question
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 01:00

hahahahhaa pourquoi tu repetes les messages ?????
en fait je voulus dire la meme chose mais sans répéter alors j'ai cité ta phrase s'il ya un probleme je suis desolé.
T'inquietes pas !! la prochaine tu mets a coté de ton message "copyright chouchou all rights reserved 2006" Laughing Laughing Laughing Laughing Laughing Laughing
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bhdih
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MessageSujet: bhdih   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 10:48

Afficher les réponses SVP...!!! king
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chouchou
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 EmptyLun 17 Juil 2006, 11:32

merci pour les renseignements
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MessageSujet: Re: problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006   problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006 Empty

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