voila mon premier defis dans ce forum

on a x;y;z>=0
et x+y+z=1
montrer que
0<=xy+xz+yz-2xyz<=7/27


(<=):inferieur ou egal

bonsoir a tous,
c tres facile comme defie, j'espere que les prochein sois aussi dur que celui-ci,bon, voila ma solution:
xy+xz+yz-2xyz=xy-xyz+yz-xyz+zx-xyz+xyz
=xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)+xyz
=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+xyz>=0
d'ou: 0<=xy+xz+yz-2xyz (1)
1/3-xy-yz-zx+2xyz
=(-3xy-3yz-3zx+6xyz+1)/3
on a:
1+6xyz-3xy-3yz-3zx=x-xy+y-yz+z-zx+6xyz-2xy-2yz-2zx
=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+6xyz-2xy-2yz-2zx
=x(x+z)+y(y+x)+z(z+y)+6xyz-2xy-2yz-2zx
=x²+y²+z²-xy-yz-zx+6xyz.
puisque: x²+y²+z²>=xy+yz+zx.
alors x²+y²+z²-xy-yz-zx+6xyz>=0
<=> 1/3-xy-yz-zx+2xyz>=0
<=> xy+yz+zx-2xyz=<7/27 (2)
de (1) et (2) on aurra l'inegalité desiré.

pour la durété de cet exo il est si dur et ai été une exo de l'olympiade plusieurs fois.......

mon ami mathmaster est ce que tu peux m'expliquer votre derniere ligne <=> 1/3-xy-yz-zx+2xyz>=0
<=> xy+yz+zx-2xyz=<7/27 (2)
de (1) et (2) on aurra l'inegalité desiré
coment tu as passe d'une ligne a l'autre on changant 1/3 a 7/27

dis moi si 1/3>7/27 n'est ce po

oué mathsmaster mais y a une faute

1/3 > xy+yz+zx-2xyz
et
1/3 > 7/27

exemple

5 > 4

et

5 > 3

est ce que 5 > 3 > 4 ?

ah wi t'as raison. merci yassine.

salut mathsmaster.



take 3

wi c de c juste. c de ca ce que j pensais une applications de IAG. tres bien frero.

merci a vous deux les gas
et fait attention autrefois mon ami mathmaster

ok.ok. bien entendu.