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2 participants
AuteurMessage
galois2000
Féru



Masculin Nombre de messages : 42
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Date d'inscription : 15/07/2008

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MessageSujet: minimum   minimum EmptyLun 11 Aoû 2008, 22:04

soient x, y, z des réels positifs tels que 2xyz = 2x + 4y + 7z. trouver le minimum de P = x + y + z.
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

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MessageSujet: Re: minimum   minimum EmptyMer 13 Aoû 2008, 00:27

on a d'aprés holder (le truc de l'exo est de remarquer que 2/5+1/3+4/15=1)
x+y+z=2/5*(5x/2)+1/3*(3y)+4/15*(15z/4)>= (5x/2)^2/5*(3y)^1/3*(15z/4)^4/15
ainsi (x+y+z)^2>=(5/2)^4/5*3^2/3*(15/4)^8/15*x^4/5*y^2/3*z^8/15. de la mème façon: a2x+4y+7z>=10^1/5*12^1/3*15^7/15*x^1/5*y^1/3*z^7/15.

alors (x+y+z)^2(2x+4y+7z)>=225/2 xyz. or 2x+4y+7z=2xyz, d'où (x+y+z)^2>=225/4,par suite x+y+z>=15/2.
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Invité




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MessageSujet: Re: minimum   minimum EmptyVen 15 Aoû 2008, 12:23

galois2000 a écrit:
soient x, y, z des réels positifs tels que 2xyz = 2x + 4y + 7z. trouver le minimum de P = x + y + z.

si les variables >=0 , clairement le min est 0 , donc je suppose que ts les variables sont strictement positifs:

la contrainte ==> 2/yz + 4/xz +7/xy =2 , posons a=1/xy , b=1/xz , c=1/yz
<=> 7a+4b+2c=2
P= sqrt(c/ab) + sqrt(b/ac) +sqrt(a/bc)
il suffit de minimiser P= a/bc + b/ac + c/ab avec 7a^2+4b^2+2c^2=2
par am-gm : c/ab + b/ac + a/bc >= 1/a +1/b +1/c >= 9/(a+b+c)
par C.S: (7a^2+4b^2+2c^2) ( 1/7 +1/4 +1/2) >= (a+b+c)^2
<=> a+b+c <= sqrt(14)/5
<=> min(P)= 9sqrt(14)/5 , enfin je crois
P.S: sqrt(x) : racine carée de x
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