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 choix décisif

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galois2000
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MessageSujet: choix décisif   choix décisif EmptyLun 11 Aoû 2008, 22:14

soient a_0 et a_1 deux entiers naturels et pour tout n>=2 on définie
a_n=(a_(n-1)) 2 /a_(n-2)

pour quel choix de of a_0 et a_1 ,tous les termes de a_n sont des entiers naturels?
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badr_210
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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptyLun 11 Aoû 2008, 22:26

Salut
Si on choisit a_0=a_1=1
et on aura pour tt n£N : a_n=1 £ N
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galois2000
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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptyLun 11 Aoû 2008, 22:58

désolé mais je cherche tous les choix possibles!
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptyMer 13 Aoû 2008, 01:24

j'ai une solution partielle,

on a clarement a_n >0 pour tout n £ N={1;2;...}

il est donc légitime de poser t(n)=lna(n),donc d'aprés la


relation récurrente t(n)-t(n-1)=t(n-1)-t(n-2), ce qui done t

(n)=bn+c en tenant compte les conditions initiales.

ainsi a(n)=a_0.(a_1/a_0)^n,ce qui montre que a_n £ IN


implique que a_1 doit diviser a_0.


il me reste de montrer que c'est une conditions suffisante et nécéssaire.
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badr_210
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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptyMer 13 Aoû 2008, 06:34

galois2000 a écrit:
désolé mais je cherche tous les choix possibles!

galois2000 a écrit:
soient a_0 et a_1 deux entiers naturels et pour tout n>=2 on définie
a_n=(a_(n-1)) 2 /a_(n-2)

pour quel choix de of a_0 et a_1 ,tous les termes de a_n sont des entiers naturels?

tu aurais dû ajouté un S , pour nous le faire savoir
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptyMer 13 Aoû 2008, 17:04

I get it!bom cheers


supposons maitenant que a_n est un entier naturel pour tout n de IN.

supposons par absurde que a_1 ne divise pas a_0.


anisi il existe x, y tel que a_1 / a_0 = x / y et pgcd(x, y) = 1, y > 1.

on définit la suite b_n définie par a_n / a_(n-1) = b_n pour


tout n de IN.

clairemant on a , b_n = b_(n-1) = ... = b_1 = x / y, de plus,

b_n * b_(n-1) * ... * b_1 = a_n / a_0 pour tout entier.

ainsi, x^n / y^n = a_n / a_0.
----> a_n = a_0 * x^n / y^n.

Or a_n est un eniter donc y^n | (a_0 * x^n). toutefois


(y^n, x^n) = 1,donc y^n | a_0.

cela est vrai pour tout n de IN,alors on doit avoir


y=1.Absurde car y>1.

ainsi a_0 | a_1.farao
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE

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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptyMer 13 Aoû 2008, 17:06

c'est la suite de:
boukharfane radouane a écrit:
j'ai une solution partielle,

on a clarement a_n >0 pour tout n £ N={1;2;...}

il est donc légitime de poser t(n)=lna(n),donc d'aprés la


relation récurrente t(n)-t(n-1)=t(n-1)-t(n-2), ce qui done t

(n)=bn+c en tenant compte les conditions initiales.

ainsi a(n)=a_0.(a_1/a_0)^n,ce qui montre que a_n £ IN


implique que a_1 doit diviser a_0.


il me reste de montrer que c'est une conditions suffisante et nécéssaire.
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lamperouge
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lamperouge

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MessageSujet: Re: choix décisif   choix décisif EmptySam 14 Jan 2012, 23:10

j'ai une solution plus simple:
a_n=(a_(n-1)) 2 /a_(n-2)
donc pour que tous les termes de a_n soient des entiers naturels
il suffit que (a_(n-1)) 2 /a_(n-2) =k tel que k est entier naturel
alors a_n=k=cte
et les couples (a0,a1) qui verifient la solution sont (a0,a0)/a0£N*
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