l'ensemble R est réduit en un point !!!

soit f une fonction continue : [0;1] ->R

soit (U_n) une suite définit par : U_n = n * integ{0}{1} (x^n*f(x)dx)

1)on considère la fonction :g(x)=f(x)*x^n
g est continue sur [0,1] donc elle admet une fonction primitive G,
G est dérivable sur ]0,1[ et continue sur [0,1] donc d'après le th des acroissements finis:
il existe c £ ]0,1[ t q : g(c)=U_n/n
d'où :

U_n=n[e^(n*ln(c))]* f(c) = nln(c)[e^(n*ln(c))]* f(c)/ln(c) et c £ ]0,1[ donc ln(c) est négatif...d'où lim(u_n)=0

2) mnt on prend pour tout x de [0;1] f(x) = M#0
on remarque donc que lim(U_n) = M #0

personne??
j'ai trouvé lememe pb!
SOS!please help

Conan a écrit:

soit f une fonction continue : [0;1] ->R

soit (U_n) une suite définit par : U_n = n * integ{0}{1} (x^n*f(x)dx)

1)on considère la fonction :g(x)=f(x)*x^n
g est continue sur [0,1] donc elle admet une fonction primitive G,
G est dérivable sur ]0,1[ et continue sur [0,1] donc d'après le th des acroissements finis:
il existe c £ ]0,1[ t q : g(c)=U_n/n
d'où :

U_n=n[e^(n*ln(c))]* f(c) = nln(c)[e^(n*ln(c))]* f(c)/ln(c) et c £ ]0,1[ donc ln(c) est négatif...d'où lim(u_n)=0

2) mnt on prend pour tout x de [0;1] f(x) = M#0
on remarque donc que lim(U_n) = M #0

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Conan & callo !!

Ma réaction à chaud à cette question : c'est que lorsque tu utilises le TAF , tu as un point c dans ]0;1[ tel que .......
Tu oublies de dire qu'en fait c dépend aussi de l'entier n et donc ton passage à la limite lorsque n----> +oo dans Un est plutôt suspect et à réexaminer !!!
Ta Démo est à revoir ... et de mon côté , je vais y réfléchir aussi !!!

LHASSANE

Re- BJR à Vous !!

Je pense qu'il faudra scinder l'intégrale
INT{ x=0 à 1 ; f(x).x^n.dx } en deux
l'une sur [0;eta] et l'autre sur [eta;1] ; 0< eta <1 ; le eta étant destiné à tendre vers 1-
puis utiliser la Convergence Uniforme de la suite {x^n}n sur [0;eta]
Faire intervenir M la Borne sup de |f| sur [0;1] etc .....

Enfin , patience je vais voir celà de +près !!!!!

LHASSANE

Bsr,
merci mr l hassan, je doutais d'un truc qui cloche!!
ps : c une démo que j'ai faite à 3h00 et qlq du matin j'étais somnolent et aussi formaté (les vacances :d) merci de nous secouer.
a++