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trouver tous les polynomes P apprtenant à Q[X] tel que P(IR|Q) est inclus dans IR|Q

c'est un résultat classique,je pense que c'est déja posté.les seuls polynoms sont les polynoms de premiers degrés.pour la démonstration on utilise une démonstration par absurde.

open-mind a écrit:

trouver tous les polynomes P apprtenant à Q[X] tel que P(IR|Q) est inclus dans IR|Q

Oui , tout à fait Rédouane !!
Le sujet ( ou un sujet similaire ) a été l'objet de tout un débat riche et fructueux sur le FoFo !!
C'est un sujet d'Oral à l'X !!! Régalez-vous !!!!!
Vous pouvez voir ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/algebre-f7/exo-polynome-oral-de-l-x-t4264.htm#62157

LHASSANE

j'ai pensé à cet exercice à maison et j'ai trouvé une belle solution (je suppose):

supposons par absurde que deg(P)>=2.
on peut remplaçer P (x) par P(x+n)-P(n) pour un n de IN grand suffisemment pour la confondre avec P et P(0)=0 et P est strictement croissante sur IR+.
on remplace encore une fois P par m*P(x/n) pour un certain m et n de IN.ceci ne change ni le degrés ni les conditions initials qu'on a imposé.
supposons donc que P(x)£Z[X] avec le coefficient le plus grand est 1.
ainsi l'équation P(x)=n admet une seule solution µ_n£[0,+00[ avec 0<µ_1<....<µ_n.
Or P£Z[X] alors µ_n£Z.
ainsi µ_n est racine de P-n,donc puisque 0<µ_1<... donne n=<µ_n alors P(n)=<P(µ_n)=n, ce qui contredit le fait que deg(P)>=2.
et ainsi seuls les polynoms de degrés =<1 qui vérifie le résultat.