Groupe cyclique

demontrer que tout sous groupe d un groupe cyclique est cyclique

Bienvenue au forum!

merci a toi pour ce chaleureux message

maybachhh a écrit:

demontrer que tout sous groupe d un groupe cyclique est cyclique

Re-bienvenue maybachch
tellement classique !
G un groupe cyclique ( O(G)=p ) soit H un sg de G ( O(H)=q , q/p !!)
G=<a> , On definit f un morphisme de (Z,+) -->G
ainsi :k --> a^k .
H un sg de G --> f^-1{H} est bien un sg de (Z +) , alors classiquement il existe m tq f^-1{H})=mZ , f clairement surgective ==> H=f(mZ)=<a^m> cqfd ( et ce m n'est ren autre que p/q !)
Plus puissant mais dans le genre ! : montrer que card(G)=card(Imf).card(Kerf ) . ( en utilusant ce resultat vous pouvez montrer le theoreme chinois facilement !)

soit G et H deux groupes
On definit f un morphisme de G -->f(G)
ainsi --> f(x)
f est bien surjectif
soit y de f(G) donc il existe a de G tel y=f(a)
on definit g de kerf -->f^-1(y)
ainsi x -->ax

g est bijective donc card(kerf)=card(f^-1(y))
chaque element de imf a exactement card(kerf) antecedant de G par f donc
card(G)=card(Imf).card(Kerf )

cher selfrespect comment peut ont utiliser ce resultat pour prouver le theoreme chinois?

maybachhh a écrit:

soit G et H deux groupes
On definit f un morphisme de G -->f(G)
ainsi --> f(x)
f est bien surjectif
soit y de f(G) donc il existe a de G tel y=f(a)
on definit g de kerf -->f^-1(y)
ainsi x -->ax

g est bijective donc card(kerf)=card(f^-1(y))
chaque element de imf a exactement card(kerf) antecedant de G par f donc
card(G)=card(Imf).card(Kerf )

cher selfrespect comment peut ont utiliser ce resultat pour prouver le theoreme chinois?

Ce n'est pas directe mais ( le fait que card(X)=Card(Z)xcard(Y) laisse penser que X/Y et Z sont isomorphes ), cette égalité vient du fait que Imf et G/ker(f) ( groupe quotient ! ) sont isomorphes , mnt soit n et m deux entier >0 notons Fp=Z/pZ , et clp(x)= la classe de x dans Fp,
soit f Z-->FmxFn , x--> (clm(x), cln(x))
kerf=mn.Z et Imf=FmxFn cqfd
alors FmxFn et Fmn sont isomorphes !

card(kerf)=card(f^-1(y))
donc
card(G)=card(Imf).card(Kerf )

cela vient du fait que f^-1(y) avec y dans f(G) forme une partition de G

maybachhh a écrit:

card(kerf)=card(f^-1(e)) donc
card(G)=card(Imf).card(Kerf )

cela vient du fait que f^-1(y) avec y dans f(G) forme une partition de G

Ce n'est pas tres clair peut on expliquer d'avantage ?
merçi

dsl pour l ecriture je ne maitrise pas le latex

soit m le cardinal de f(G)

on a f^-1(y) avec y dans f(G) forme une partition de G
donc
card(G)=sigma de card(f^-1(yi)) i allant de 1 a m

comme pour tout i card f^-1(yi)=card(Kerf )
(ca ete prouve avec l application g de kerf -->f^-1(y) x -->ax)

on en deduit que

card(G)=sigma de card(Kerf ) avec i allant de 1 a m

on en deduit que card(G)=m.card(Kerf)

et donc card(G)=card(Imf).card(Kerf )

maybachhh a écrit:

dsl pour l ecriture je ne maitrise pas le latex

soit m le cardinal de f(G)

on a f^-1(y) avec y dans f(G) forme une partition de G
donc
card(G)=sigma de card(f^-1(yi)) i allant de 1 a m

comme pour tout i card f^-1(yi)=card(Kerf )
(ca ete prouve avec l application g de kerf -->f^-1(y) x -->ax)

on en deduit que

card(G)=sigma de card(Kerf ) avec i allant de 1 a m

on en deduit que card(G)=m.card(Kerf)

et donc card(G)=card(Imf).card(Kerf )

Ok je suis d'accord ( je n'ai pas vu dans le post precedent la definition de f et g puis a !! )
a+

maybachhh a écrit:

demontrer que tout sous groupe d un groupe cyclique est cyclique

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Maybachhh & Selfrespect !!
Pour cette question , il ne faut surtout pas hésiter à raisonner de cette manière , et puis c'est plus recherché !!
Tout groupe cyclique G d'ordre n est ISOMORPHE au groupe additif standart Z/nZ des classes résiduelles modulo n via un isomorphisme PHI défini par la donnée seule de PHI(1*) ; 1* est la classe de 1 et 1* est un générateur de Z/nZ
Par conséquent , les structures étant isomorphes , les sous-groupes se correspondent !! Par ailleurs , je pense qu'il est plus facile de travailler sur Z/nZ que sur G=<PHI(1*)> .

selfrespect a écrit:

maybachhh a écrit:

demontrer que tout sous groupe d un groupe cyclique est cyclique

Re-bienvenue maybachch
tellement classique !
G un groupe cyclique ( O(G)=p ) soit H un sg de G ( O(H)=q , q/p !!)
G=<a> , On definit f un morphisme de (Z,+) -->G
ainsi :k --> a^k .
H un sg de G --> f^-1{H} est bien un sg de (Z +) , alors classiquement il existe m tq f^-1{H})=mZ , f clairement surgective ==> H=f(mZ)=<a^m> cqfd ( et ce m n'est ren autre que p/q !)
Plus puissant mais dans le genre ! : montrer que card(G)=card(Imf).card(Kerf ) . ( en utilusant ce resultat vous pouvez montrer le theoreme chinois facilement !)

BSR à Vous !!
Celà aussi , c'est CLASSIQUE et figure dans tous les Livres d'Algèbre Générale de BAC+1 !!
Les groupes sont supposés COMMUTATIFS ici pour simplifier !!
Tout homomorphisme f d'un groupe G dans un autre groupe H se décompose CANONIQUEMENT selon :
f=iobos ou
s est l'homomorphisme SURJECTION CANONIQUE de G sur G/Kerf
b est l'ISOMORPHISME de G/Kerf sur Imf et enfin
i est l'homomorphisme INJECTION CANONIQUE de Imf dans H

o est le symbôle de la loi de composition des homomorphismes et G/Kerf est le Groupe Quotient de G modulo le sous-groupe Kerf.

Oeil_de_Lynx a écrit:

selfrespect a écrit:

maybachhh a écrit:

demontrer que tout sous groupe d un groupe cyclique est cyclique

Re-bienvenue maybachch
tellement classique !
G un groupe cyclique ( O(G)=p ) soit H un sg de G ( O(H)=q , q/p !!)
G=<a> , On definit f un morphisme de (Z,+) -->G
ainsi :k --> a^k .
H un sg de G --> f^-1{H} est bien un sg de (Z +) , alors classiquement il existe m tq f^-1{H})=mZ , f clairement surgective ==> H=f(mZ)=<a^m> cqfd ( et ce m n'est ren autre que p/q !)
Plus puissant mais dans le genre ! : montrer que card(G)=card(Imf).card(Kerf ) . ( en utilusant ce resultat vous pouvez montrer le theoreme chinois facilement !)

....
Tout homomorphisme f d'un groupe G dans un autre groupe H se décompose CANONIQUEMENT selon :
f=iobos ou
s est l'homomorphisme SURJECTION CANONIQUE de G sur G/Kerf
b est l'ISOMORPHISME de G/Kerf sur Imf et enfin
i est l'homomorphisme INJECTION CANONIQUE de Imf dans H
....

Je ne dirai pas le contraire c'est du classique.