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miriam
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miriam

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MessageSujet: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 11:48





slt tt le monde !!!!!
Soit, pour
n entier naturel supérieur à 2, la fonction fn définie par
fn(x)={(V(cosx) -1)(3V(cosx) -1).........(nV(cosx) -1)} /x^(2n-2)


Déterminer la limite en zéro de la fonction
nf.
N.b:3Vdalat racine rotba 3






Dernière édition par miriam le Lun 25 Aoû 2008, 12:19, édité 2 fois
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L
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 11:58

bjr
stp je ne vois pas bien le message tu pourrais le modifier stp?
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miriam
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 12:16

Je croi ke mnt é clair
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epsilon
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 12:19

et c'est quoi la question?
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miriam
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 12:29

la question é la suivante :Déterminer la limite en zéro de la fonction fn
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Nea®
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 14:56

ton exo est flou, rend le plus claire cette fois et si tu arrives à l'ecrire en lateX ça serai beau , en faite ce que j'ai pas compris cé les pionts que t'as fait car ça ne désigne rien pour moi : n un multuplicateurs de 3 ??!
A+
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 17:47

BJR à Toutes et Tous !!
BJR miriam !!

miriam a écrit:
slt tt le monde !!!!!
Soit, pour n entier naturel supérieur à 2, la fonction fn définie par :
fn(x) = {(V(cosx) -1)(3V(cosx) -1).........(nV(cosx) -1)} /x^(2n-2)
= PRODUIT { i=2 à n ; {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 }
Déterminer la limite en zéro de la fonction fn .

QUESTION de NOTATION :
Si i est un entier , i>=2 , (cosx)^(1/i) désigne la racine i-ième de cosx
( On n'a pas de problème au niveau de la définition puisqu'au voisinage de ZERO , cosx est positif car voisin de UN ).
On constate effectivement que l’expression fn fait apparaître
(cosx)^(1/2) -1
(cosx)^(1/3) -1
(cosx)^(1/4) -1


(cosx)^(1/n) -1
Soit (n-1) facteurs . Par ailleurs x^(2n-2)=(x^2)^(n-1) et donc , on pourrait alors écrire astucieusement fn(x) sous la forme suivante :
fn(x) = PRODUIT { i=2 à n ; {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 }
Il nous restera simplement à chercher la limite en zéro de chaque facteur
{(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 pour chaque entier i=2,3,4, ……, n
Maintenant , je ne sais pas si c’est au Programme des BACSM ou pas , on va utiliser les équivalents standarts ( le symbole ~ signifie équivalent ) :
On écrit d’abord (cosx)^(1/i) = exp{(1/i).Ln(cosx)}
Lorsque x est voisin de ZERO alors Ln(cosx) ~ cosx – 1
Or cosx – 1 ~ - (x^2)/2
Donc Ln(cosx) ~ - (x^2)/2
D’où au final :
(cosx)^(1/i) – 1 = exp{(1/i).Ln(cosx)} – 1 ~ -(1/2i).x^2
et par suite :
Lim {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 = - (1/2i) lorsque x ------> ZERO
EN CONCLUSION :
Lim PRODUIT { i=2 à n ; {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 }=(-1/2)^(n-1) . (1/n !)
Lorsque x-------> ZERO
La limite cherchée vaut donc
{(-1)^(n-1)}/{2^(n-1) . n! }

LHASSANE
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miriam
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyLun 25 Aoû 2008, 22:43

Merci bocou M.Lhssan pr la démostration détaillé mm si on a pas encor étudié la fonction Ln
En tt ca je ss tré reconnaissante pr votr aide!!!!!
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o0aminbe0o
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 00:21

pas besoin de Ln

on utilise les deux formules

(cosx)^(1/i)-1=(cosx-1)/((cosx)^((i-1)/i)+...+1)

et lim(cosx-1)/x²=1/2 qd x->0
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 08:54

o0aminbe0o a écrit:
pas besoin de Ln
on utilise les deux formules
(cosx)^(1/i)-1=(cosx-1)/((cosx)^((i-1)/i)+...+1)
et lim(cosx-1)/x²=1/2 qd x->0

BJR à Toutes et Tous !!
BJR oOaminebeOo !!
Tu as tout à fait raison !!
En fait , s'agissant du calcul d'une LIMITE , on peut présumer que la fonction Ln n'a pas encore été étudiée en Cours !! ( les Limites sont traitées en début de Programme en BACSM sans doute ??? )

Pour ce qui est de ton indication , on peut de manière générale utiliser l'identité remarquable suivante :

A^i - B^i= (A-B).{A^(i-1)+.....+A^k.B^(i-1-k)+.....+B^(i-1)}
dans laquelle on remplacera :
A^i par cosx ( ce qui donnera A=(cosx)^(1/i)
et B par 1
puis conclure comme tu l'as si B1 fait !!!

LHASSANE

PS : voir le Lien suivant pour les identités remarquables
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_remarquables#Autres_identit.C3.A9s
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miriam
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 12:06

SLt tt le monde!!!!!
Mé commen peu ton démonté l'identité remarkable suivante
A^i - B^i= (A-B).{A^(i-1)+.....+A^k.B^(i-1-k)+.....+B^(i-1)}
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iori
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 12:50

je crois qu'on la démontre par récurrence Idea
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o0aminbe0o
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 12:57

miriam a écrit:
SLt tt le monde!!!!!
Mé commen peu ton démonté l'identité remarkable suivante
A^i - B^i= (A-B).{A^(i-1)+.....+A^k.B^(i-1-k)+.....+B^(i-1)}

Salam
il suffit de développer .... Arrow
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iori
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 15:14

on sait que :
a^n - b^n est divisible par a - b pour toutes les puissances n impaires

et en plus par a + b pour les puissances n paires.
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o0aminbe0o
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptyMar 26 Aoû 2008, 15:31

iori a écrit:
on sait que :
a^n - b^n est divisible par a - b pour toutes les puissances n impaires

et en plus par a + b pour les puissances n paires.

non , a^n-b^n est divisible par a-b pour tout n£IN
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imane20
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 07:46

Salam tt le monde;;
Merci miriam pr la question;;
ben voila l exo complet et je vx ke vs me donner votre point de vue:

limite Clipimage002kh4

2/


Soit,pour n entier naturel supérieur à 2, la fonction nf définie par :

limite Clipimage002fl5

Voici je ke j avé fé:

limite 005es7
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 09:53

BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!

Regardes de près ton corrigé , il y a une erreur dans l'avant-dernière ligne qui s'est répercutée sur ton résultat final !!
De manière précise :
{cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+1
={cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+{cosx}^((n-n)/n)
Cette expression contient exactement n termes qui tendent tous vers 1 lorsque x----->ZERO
et donc tu devrais écrire chez Toi :
Lim {(cosx)^(1/n) – 1}/x^2 = - (1/2n) lorsque x ------> ZERO


On a B1 comme je l'ai écrit :
Lim {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 = - (1/2i) lorsque x ------> ZERO
La limite cherchée vaut donc
{(-1)^(n-1)}/{2^(n-1) . n! }


LHASSANE


Dernière édition par Oeil_de_Lynx le Sam 30 Aoû 2008, 15:38, édité 3 fois
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miriam
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 11:56

Merci pr ton aide IMANE
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jack
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 17:21

une ptite remarque meriem pk t"as pas écrit cette exo auplace de graoupe d'étudiant sm
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jack
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 17:22

c'est je pense et pour l'exo cété b1
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 19:55

Merci jack pr la remarque.é oui pr etre plus précise il falé ke je lenvoi ds lespace ke tu a indiké
J feré attention la prochaine foi!!!
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imane20
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MessageSujet: Re: limite   limite EmptySam 30 Aoû 2008, 20:36

Oeil_de_Lynx a écrit:
BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!

Regardes de près ton corrigé , il y a une erreur dans l'avant-dernière ligne qui s'est répercutée sur ton résultat final !!
De manière précise :
{cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+1
={cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+{cosx}^((n-n)/n)
Cette expression contient exactement n termes qui tendent tous vers 1 lorsque x----->ZERO
et donc tu devrais écrire chez Toi :
Lim {(cosx)^(1/n) – 1}/x^2 = - (1/2n) lorsque x ------> ZERO


On a B1 comme je l'ai écrit :
Lim {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 = - (1/2i) lorsque x ------> ZERO
La limite cherchée vaut donc
{(-1)^(n-1)}/{2^(n-1) . n! }


LHASSANE

Merci Mr Lhassane pr l indication; j ai pa fé attention;;
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