Série numérique

x1, x2, ... , xn des reels positives leur somme est 1. on a S = x1/√(x1 + x2+ ... +xn) + x2/√( (1+x1)(x2+ ... +xn) ) + x3/√( (1+x1+x2)(x3+ ... +xn) ) + ... + xn/√( (1+x1+ ... +xn-1)xn ). demontrer que 1 ≤ S < π/2.

https://2img.net/r/ihimizer/img74/8697/sumkw8.png
La démonstration de cette écriture est un peu longue à saisir en latex j'essaierai aprés de la calculer et de la scanné.
http://b.imagehost.org/0664/sum_dem.jpg
Comment encadrer cette somme ?

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Wash s3iib 3likoum ?

non c 'est facile
(x - 1)² ≥ 0, donc x(2 - x) ≤ 1. de la (1 + x₁ + ... + x_k-1)(x_k + ... + x_n) ≤ 1. donc x_k/( (1 + x₁ + ... + x_k-1)(x_k + ... + x_n) ) ≥ x_k. donc la somme est au moins 1.
de cette forme π/2 on suggere quand va travailler par les fonctions trigonometriques . sachant que (1 + x₁ + ... + x_k-1) = 1 + (x₁ + ... + x_k-1) et (x_k + ... + x_n) = 1 - (x₁ + ... + x_k-1),donc le produit 1 - (x₁ + ... + x_k-1)². donc on faire poser (x₁ + ... + x_k) = sin y_k. donc la somme devient ∑ (sin y_k - sin y_k-1)/cos y_k-1 (prenons y₀ = 0).
posons y_k = (y_k+y_k-1)/2 + (y_k-y_k-1)/2, y_k-1 = (y_k+y_k-1)/2 - (y_k-y_k-1)/2,on aura sin y_k - sin y_k-1 = 2 cos( (y_k + y_k-1)/2) sin(y_k/2 - y_k-1/2).mais y_k-1 < y_k, donc cos( (y_k + y_k-1)/2) < cos y_k-1. de la la somme est moins que S 2 sin(y_k/2 - y_k-1/2). mais sin x < x, donc 2 sin(y_k/2 - y_k-1/2) < y_k - y_k-1 et donc la somme est moins que yn = π/2.

bravo