Trouver tous les triplets solutions.

Trouver tous les triplets ordonnés d'entiers positifs tels que : abc + ab + c = a^3.

Bonjour,
abc + ab + c = a^3, avec a, b et c dans N

1) a = 0 ==> c=0
==> Solution S1 : (0, b, 0)
2) a > 0
a divise c et donc c = ad
==>
abd + b + d = a^2

Si a < b a^2 < ab et l'égalité ci dessus ne peut être vraie que si d=0. Sinon, en effet, a^2 < ab <=abd < abd + d + b
==> solution S2 : (a, a^2, 0)
Si b = 0 :
==> solution S3 : (a, 0, a^3)
Si b = 1 :
ad + 1 + d = a^2
(a + 1)(a - d - 1) = 0
==> solution S4 : (a, 1, a^2 - a)

Si a > b > 1, effectuons la division euclidienne de a par b :
a = ub + v avec v<b et u >0

ub^2d +vbd +b +d = u^2b^2 +2ubv + v^2

d(ub^2 + vb + 1) = u^2b^2 + 2ubv + v^2 - b
d(ub^2 + vb + 1) = u(ub^2 + vb + 1) + ubv + v^2 - b - u

==> A = ub^2 + vb + 1 divise B = ubv + v^2 - b - u
Or, v < b ==> (ub + v)v < (ub + v)b ==> (ub + v)v - b - u < (ub + v)b + 1 ==> B < A

Si v = 0 :
A = ub^2 + 1 divise B = - (b+u)
A + B = (u - 1)(b - 1) + ub(b - 1)
Comme b > 1 et u > 0, on a A + B > 0 ==> A > -B > 0
Comme on a déjà A > B, il vient A > |B| > 0 et A ne peut diviser B

Si v > 0
B= ubv + v^2 - b - u = (b - 1)(u - 1) + (v + 1 + ub)(v - 1)
Puisque b > 1 et u > 0, B >= 0
On a donc A > B >=0 et A ne peut diviser B que si B est nul
B = 0 ==> (b - 1)(u - 1) + (v + 1 + ub)(v - 1) = 0 ==> v = 1 et u = 1
==> solution S5 : (a, a - 1, a)


En résumé, les triplets (a,b,c) solution sont :
(0, b, 0)
(a, a^2, 0)
(a, 0, a^3)
(a, 1, a^2 - a)
(a, a - 1, a)

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Patrick

hi pco vous ne voyez pas que c'est tres long

Bonjour,

chouchou a écrit:

hi pco vous ne voyez pas que c'est tres long

Si, bien sûr, mais je préfère donner une solution que je pense complète et correcte, mais longue, plutôt que de ne rien donner.

Maintenant, il est clair que je serai ravi, et pas vexé du tout, de voir quelqu'un(e) donner une solution complète, correcte ... et courte !

A vous lire ... .

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Patrick