Trouver tous les couples d'entiers

Trouver tous les couples d'entiers (x,y) tels que :

A,B,C,D>1
si AB=CD et pgcd(A,B)=pgcd(C;D)=1
alors A=C et B=D ou A=D et B=C

on prend x,y>2
on a y² impair donc y impair
par suite PGCD(y-1,y+1)=2

on a 2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)
et on a pgcd(2^x,2^{x+1}+1)=1 et pgcd(y-1,y+1)=2
si V2(y-1)=1; on a 2^{x-1}(1+2^{x+1})=((y-1)/2)(y+1)
et pgcd((y-1)/2,y+1)=1
donc y+1=2^{x-1} et y-1=2^{x+2}+2 (1)
si v2(y+1)=1
on a 2^{x-1}(1+2^{x+1})=((y+1)/2)(y-1)
et pgcd((y+1)/2,y-1)=1
donc y-1=2^{x-1} et y+1=2^{x+2}+2 (2)

(1) impossible
(2) donne 2^{x+2}+2-2^{x-1}=2 impossible
donc pas de solution
mais je suis sure que j'ai fait une erreur (mais ou?)
pour les valeur {0,1,2}
(0,2) est une solution

c'est Problème 4 OIM 2006
voici la solution officielle

ma faute c'est donne
A,B,C,D>1
si AB=CD et pgcd(A,B)=pgcd(C;D)=1
alors A=C et B=D ou A=D et B=C