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 Trouver tous les couples d'entiers

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Weierstrass
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Weierstrass

Masculin Nombre de messages : 2079
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MessageSujet: Trouver tous les couples d'entiers   Trouver tous les couples d'entiers EmptyDim 16 Juil 2006, 13:06

Trouver tous les couples d'entiers (x,y) tels que :

Trouver tous les couples d'entiers Pr4mp8
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pilot_aziz
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MessageSujet: Re: Trouver tous les couples d'entiers   Trouver tous les couples d'entiers EmptyDim 16 Juil 2006, 14:33

A,B,C,D>1
si AB=CD et pgcd(A,B)=pgcd(C;D)=1
alors A=C et B=D ou A=D et B=C

on prend x,y>2
on a y² impair donc y impair
par suite PGCD(y-1,y+1)=2

on a 2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)
et on a pgcd(2^x,2^{x+1}+1)=1 et pgcd(y-1,y+1)=2
si V2(y-1)=1; on a 2^{x-1}(1+2^{x+1})=((y-1)/2)(y+1)
et pgcd((y-1)/2,y+1)=1
donc y+1=2^{x-1} et y-1=2^{x+2}+2 (1)
si v2(y+1)=1
on a 2^{x-1}(1+2^{x+1})=((y+1)/2)(y-1)
et pgcd((y+1)/2,y-1)=1
donc y-1=2^{x-1} et y+1=2^{x+2}+2 (2)

(1) impossible
(2) donne 2^{x+2}+2-2^{x-1}=2 impossible
donc pas de solution
mais je suis sure que j'ai fait une erreur (mais ou?)
pour les valeur {0,1,2}
(0,2) est une solution


Dernière édition par le Dim 16 Juil 2006, 14:37, édité 2 fois
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samir
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samir

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MessageSujet: Re: Trouver tous les couples d'entiers   Trouver tous les couples d'entiers EmptyDim 16 Juil 2006, 14:34

c'est Problème 4 OIM 2006
voici la solution officielle
Trouver tous les couples d'entiers Solutionp4qf7

_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
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pilot_aziz
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MessageSujet: Re: Trouver tous les couples d'entiers   Trouver tous les couples d'entiers EmptyDim 16 Juil 2006, 14:51

ma faute c'est donne
A,B,C,D>1
si AB=CD et pgcd(A,B)=pgcd(C;D)=1
alors A=C et B=D ou A=D et B=C
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