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 exo

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racha
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MessageSujet: exo   Mar 16 Sep 2008, 19:49

a,b et c longueurs d'un triangle tel que:
a+b+c=2
montrez que: a²+b²+c²+2abc<2
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memath
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MessageSujet: Re: exo   Mar 16 Sep 2008, 23:15

<==> 3(a²+b²+c²)+6abc=<6

puisque a,b,c sont des longueurs de cotés d un triangle donc a²+b²+c²<ab+ac+bc

donc 3(a²+b²+c²)+6abc < a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)+6abc=4+6abc

donc on doit montrer que abc < 1/3

mé par am-gm on a : a+b+c=2>=3(abc)^{1/3}

donc abc=<8/27<1/3

Wink
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MessageSujet: Re: exo   Mar 16 Sep 2008, 23:29

salut
a²+b²+c²>=ab+ac+bc pas le contraire
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memath
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MessageSujet: Re: exo   Mar 16 Sep 2008, 23:47

dsl javé dans ma tete a²+b²+c&<2(ab+ac+bc) et jé utilisé a²+b²+c²<ab+ac+bc par inatention

mrci Smile
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MessageSujet: Re: exo   Mar 16 Sep 2008, 23:52

de rien voila une autre solution
salut
on pose x=a+b-c;y=b+c-a;z=a+c-b==>x+y+z=2
l inégalité est équivalente a
(2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2zx)/4+(x+y)(y+z)(z+x)/8<2
(2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2zx)/4+(2(xy+yz+zx)-xyz)/8<2
2(x+y+z)²/4-xyz/8<2(x+y+z)²/4=2

PS:(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=2(xy+yz+zx)-xyz
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exo
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