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 exo pour les interessées aux olympiades

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racha
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MessageSujet: exo pour les interessées aux olympiades   Ven 19 Sep 2008, 19:30

x,y et z des nombres réels strictement positifs tel que:
x+y+z=1
prouvez que:

V(xy/z+xy)+V(yz/x+yz)+V(xz/y+xz)=<3/2
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Ven 19 Sep 2008, 20:10

bon exo:
posons S la coté gauche de l'inega
on utilisant le fait que x+y+z=1. on trouve que:

avec l'inegalité de jensen:

on doit prouver que S=<3/2 <=>S²=<9/4. donc on doit prouver que:

puis on developpons on devrai prouver que:
x²y+y²x+y²z+z²y+x²z+z²x>=6xyz ce qui est juste.
epreuves:
celon AM-GM:
1).x²y+y²z+z²x>=3xyz
2).xy²+yz²+zx²>=3xyz
on sommant 1) et 2) on obtient l'inegalité désiré.
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 15:06

Wink


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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 18:04

mathsmaster a écrit:
bon exo:
posons S la coté gauche de l'inega
on utilisant le fait que x+y+z=1. on trouve que:

avec l'inegalité de jensen:

on doit prouver que S=<3/2 <=>S²=<9/4. donc on doit prouver que:

puis on developpons on devrai prouver que:
x²y+y²x+y²z+z²y+x²z+z²x>=6xyz ce qui est juste.
epreuves:
celon AM-GM:
1).x²y+y²z+z²x>=3xyz
2).xy²+yz²+zx²>=3xyz
on sommant 1) et 2) on obtient l'inegalité désiré.

peux-tu mieux expliquer ?
confused
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 19:23

si vous n'avez pas compris cette solution.voila une autre plus simple:
http://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/grand-jeu-d-hiver-pour-les-tc-t9601-270.htm
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 19:34

Cool


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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 19:34

et c'est quoi cyc en bas de sigma
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 19:34

elle sert aussi aux fonctions concave
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Lun 29 Sep 2008, 22:50

MERCI mathsmaster ...
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MessageSujet: Re: exo pour les interessées aux olympiades   Aujourd'hui à 08:50

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