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light2009
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MessageSujet: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyVen 19 Sep 2008, 23:45

f est une fonction continue dans IR ,tel que :
Quel que soit x dans IR : f(x)#x
montrez que l'equation fof(x)=x n'a pas de solution dans IR.
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mathema
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mathema

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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptySam 20 Sep 2008, 00:46

salut mes amis:
REPONSE:
1) si f est strictement monotone alors puisque elle est continue alors elle est bijective; donc elle admis une fonction receproque f^(-1) alors on a:
fof(x)=x <=> f(x)=f^(-1) <=> f= f^(-1). ce qui est impossible sauf au cas ou f(x)=x ou f(x)=1/x et puisque f(x)#x (d'apres l'ennonce) et f(x)=1/x n'est pas continue sur IR (mais sur IR*) alors fof(x)=x n'admet pas de solution.
2) si f est constante alors f(x)=a <=> fof(x)=a <=> a=f(a)=a ce qui est vraie mais puisque f(a)#a alors f n'est pas constante.
alors d'apres (1) fof=Id n'admet pas de solution sur IR.
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light2009
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptySam 20 Sep 2008, 13:10

wé ,t'a raison !!mais ne serais ce pas une autre methode par hasard ? (theoreme des valeurs intermediaire )
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khatir123
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khatir123

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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptySam 20 Sep 2008, 13:20

f(x) est continue et différente de x donc pour tout x de IR on a f(x)>x ou f(x)<x.
***si f(x)>x donc f(f(x)>f(x)>x donc f(f(x))#x
*** pour f(x)<x donc f(f(x)<f(x)<x donc f(f(x))#x
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light2009
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptySam 20 Sep 2008, 19:58

merci bcp khatir123 et mathema !
a bientot
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maye
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyMar 23 Sep 2008, 12:00

salut
Pour khatir123 esk f est monotone pr dire que si f(x)<x alors f(f(x))<f(x)?
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maye
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyMar 23 Sep 2008, 12:09

bon pr cet exo voilà ma méthode (par absurde)
on suppose que f(f(x))=x a au moins une solution dans R
alors il existe c de R tels que f(f(x))=x alrs on a f(f(c)=c
f est continue dans R démontrant que il existe un a tels que f(a)=a
soit h(x)=f(x)-x (h est continue dans R)
on a h(c)=f(c)-c et h(f(c))=f(f(c))-f(c)=c-f(c)
alors h(c).h(f(c))=-(f(c)-c)²<0
donc il existe un a between f(c) et c tels que h(c)=0 donc il existe c de R tels que h(c)=c (et puisque on a pr tt x de R f(x)=/ x)........
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maye
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyMar 23 Sep 2008, 12:11

dsl pr l'avant dernière ligne f(c)=c
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khatir123
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyMar 23 Sep 2008, 13:56

maye a écrit:
salut
Pour khatir123 esk f est monotone pr dire que si f(x)<x alors f(f(x))<f(x)?
slt;
on a f(x)<x pour tt x de IR; donc on peut prendre f(x) a la place de x;et on aura f(f(x))<f(x) Very Happy
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maye
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyMer 24 Sep 2008, 16:55

ah je vois mé dsl je vois pas que c'est juste car même si t'as pris f(x) à la place de x t'as aussi joué sur la monotonie de f(x)
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khatir123
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyMer 24 Sep 2008, 19:49

on a posé f(x)<x pour tt x de IR;et f(x) est dans IR;donc on a le droit de dire que f(f(x))<f(x);sans avoir besoin de parler de la monotomie de f(x).
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maye
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyJeu 25 Sep 2008, 11:49

prends cet exemple Mr khatir123 si on a f décroissante dans R et on a f(x)<x alrs puiskilé décroissante on aura fof(x)>f(x) se ki fait ta méthode n'est pas tjrs juste
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khatir123
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyJeu 25 Sep 2008, 14:52

tu viens de démontrer que f ne peut pas etre décroissante Laughing


Dernière édition par khatir123 le Jeu 25 Sep 2008, 16:52, édité 4 fois
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp EmptyJeu 25 Sep 2008, 15:38

JE pense que :
f est croissante et f(x)>x ====>f(f(x))>f(x)
mais l'autre implication est fausse,ce que veut dire que si f(f(x))>f(x) ne veut pas dire que f est croissante,n'es ce pas?
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MessageSujet: Re: Cliké ici svp   Cliké ici svp Empty

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