| problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) | |
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+3abdelbaki.attioui pelikano samir 7 participants |
Auteur | Message |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Lun 21 Juil 2008, 21:34 | |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Lun 21 Juil 2008, 22:03 | |
| salut chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr (Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée ) puis il poste le message suivant ici "solution postée" pour plus d'information voir les conditions de participation Merci | |
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pelikano Maître
Nombre de messages : 103 Date d'inscription : 23/11/2006
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Mar 22 Juil 2008, 01:55 | |
| Solution postée puis corrigé et repostée juste (j'espère) voici la solution de pelikano On remarque que 2^1 = 1^3 + 1^3 et 3^2 = 2^3 + 1^3 c'est à dire que 2 et 3 sont solutions de notre problème.
Soit p un entier premier tel que p>=5 solution du problème. Il existe donc trois entiers strictement positifs n, x et y tel que : p^n = x^3 + y^3 = (x+y)(x²-xy+y²) = (x+y).[ (x+y)² -3xy ]
Je décompose n = a+b et la primalité de p permet d'écrire :
x+y = p^a (x+y)²-3xy = p^b
déjà notons que si a = 0, alors x+y = 1 ce qui absurde puisque x>=1 et y>=1 soit x+y>=2. donc a est non nul. Il vient de la deuxième relation : p^(2a) = p^b + 3xy
le fait que x, y et p sont non nuls impose que 2a>b>=0. Il vient alors : 3xy = p^b(p^(2a-b) - 1)
Ici, je décompose x et y : x= p^v_p(x) . x' et y = p^v_p(y) . y' avec PGCD(x', p) = PGCD(y', p) = 1 Il vient alors : 3x'.y' = p^(b-v_p(x)-v_p(y)).(p^(2a-b) -1)
Ici, si b-v_p(x)-v_p(y) est non nul, alors p divise 3x'y' et PGCD(p, 3x'y') = 1 d'où p=1 ABSURDE. On en déduis que b = v_p(x) + v_p(y) On a donc le système à résoudre en x' et y' :
3x'.y' = p^(2a-v_p(x)-v_p(y)) - 1 p^v_p(x).x' + p^v_p(y).y' = p^a
La deuxième égalité permet d'obtenir x' en fonction de y' puis en injectant dans la première égalité, on obtient après simplification une équation du second degré
3.p^(v_p(y)-v_p(x)). y'² + 3.p^(a-v_p(x)). y' + p^(2a-v_p(x)-v_p(y)) - 1 = 0
dont le discriminant est :
-3 . p^v_p(y) . [ p^(2a-b) - 4]
et l'hypothèse p>=5 impose que le discriminant est strictement négatif donc l'équation n'a pas de solution en y' .
Conclusion : les seuls entiers premiers solutions du problème sont 2 et 3 CQFD
J'espère cette fois ne pas m'être trompé dans le raisonnement
Dernière édition par pelikano le Mer 23 Juil 2008, 08:16, édité 1 fois | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Mar 22 Juil 2008, 15:19 | |
| Solution postée voici la solution d'abdelbaki.attioui Soit (n,x,y) solution de p^n=x^3+y^3. On peut supposer que p ne divise ni x ni y. Car La p-valuation de x=La p-valuation de y (i.e le plus grand exposant de p dans la décomposition de x égal à celui de y). En effet, si x=p^a.x' et y=p^b.y' ( p ne divise ni x' ni y') avec b>=a ==> p^(n-3a)=x'^3+p^(3b-3a).y'^3 ==> a=b car x'>0 et y'>0 ==> (n-3a, x/p^a,y/p^a) solution avec PGCD(x/p^a,p)=PGCD(x/p^a,p)=1 On a , p^n=x^3+y^3=(x+y)(x²-xy+y²) ==> x+y=p^s et x²-xy+y²=p^(n-s) avec 0<s=<n. ( s>0 car x>0 et y>0) ==> p^(n-s)=(x+y)²-3xy=p^(2s)-3xy si 0<s<n alors p=3. (2,2,1) solution car 3²=2^3+1^3 si s=n ==> x²-xy+y²=1 ==> Par I.A.G, xy=<1 ==> x=y=1 ==> p^n=2 ==> p=2 , (1,1,1) solution car 2^1=1^3+1^3
A+
Dernière édition par abdelbaki.attioui le Mar 28 Juil 2015, 11:17, édité 2 fois | |
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hypermb Maître
Nombre de messages : 156 Age : 36 Localisation : Marrakech Date d'inscription : 15/07/2008
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Mer 23 Juil 2008, 13:06 | |
| Solution postée voici la solution de hypermbformat word solution de hypermb voilà je le poste sous format image :
Dernière édition par hypermb le Lun 28 Juil 2008, 19:40, édité 1 fois | |
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galois2000 Féru
Nombre de messages : 42 Age : 34 Date d'inscription : 15/07/2008
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Mer 23 Juil 2008, 18:16 | |
| solution postée solution non trouver (administration ) | |
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Jeu 24 Juil 2008, 11:42 | |
| salut tout le monde. solution postée voici la solution d'abdelbaki.attioui | |
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joystar1 Maître
Nombre de messages : 148 Age : 34 Date d'inscription : 17/03/2007
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Sam 26 Juil 2008, 21:31 | |
| solution postée voici la solution de joystar1 soit p solution==>il existe n,x,y p^n=x^3+y^3=(x+y)*(x²+y²-xy) on pose x+y=p^n_1 et x²+y²-xy=p^n_2 et n_1+n_2=n -si n_1*n_2=0==>x+y=1ou x²+y²-xy=1 x+y=1==>xy=0(absurde) x²+y²-xy=1==>(x,y)=(1,1)==>p^n=2==>p=2 reciproquement: 2^1=1^3+1^3 -si n_1*n_2<>0==>p/x+y et p/x²+y²-xy(1) p/x+y==>p/(x+y)²=x²+y²+2xy(2) (2)-(1)==>p/3xy=>p=3 ou p/x ou p/y pour p=3 on a :3^2=1^3+2^3 pour p/x==>p/y(p/x+y) on pose x=x'p et y=y'p l'equation devient:p^(n-3)=x'^3+y'^3 en posant n-3=m on retrouve que p=2 et p=3 sont les seules solutions possibles en repetant l'operation on trouve que dans tout les cas p=2 ou p=3 d'ou S={2,3} | |
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hypermb Maître
Nombre de messages : 156 Age : 36 Localisation : Marrakech Date d'inscription : 15/07/2008
| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) Lun 28 Juil 2008, 20:10 | |
| oups, je crois qu'il me manque des choses dans ma solution ... | |
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| Sujet: Re: problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) | |
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| problème N°143 (21/07/2008-27/07/2008) | |
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