f(x+yf(y)) = f(x) + xf(y).

Trouver toutes les fonctions f:R->R telles que :
f(x + y f(y)) = f(x) + x f(y), pour tous x, y € R.

y=0 et x#0 ==> f(0)=0
x=0 ==> f(yf(y))=0
... f=0

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

f(yf(y))=0
... f=0

f(xf(x)) = 0 n'implique pas f = 0.

exemple : f(x) = 0 sur {0, 1} et f(x) = 1/x ailleurs.

Donc, il en faudrait beaucoup plus pour montrer que la seule solution serait f=0.

--
Patrick

salut
pour x=y
==>f(x+xf(x))-x-xf(x)=f(x)-x
on pose h(x)=f(x)-x
donc h(x+x^2+xh(x))=h(x)
terminez

Bonjour Eto,

eto a écrit:

h(x+x^2+xh(x))=h(x)
terminez

Je doute que ceci puisse permettre de terminer.
Il existe une infinité de solutions à l'équation h(x+x^2+xh(x))=h(x).
Il faut donc les trouver, les caractériser, et montrer que seule la solution h(x) = -x remplit la condition initiale.
Ce n'est pas gagné.

Exemples de solution de h(x+x^2+xh(x))=h(x):

1) h(x) = a
2) h(x) = -x
3) h(x) = -1 pour tous les nombres de la forme 2^(2^n) , n entier naturel
h(x) = 1 pour tous les nombres de la forme 2^(2^n) - 1, n entier naturel
h(x) = -x ailleurs
4) h(x) = 6 pour tous les nombres de la forme k^[n](pi),
h(x) = -x ailleurs,
avec :
n entier naturel,
k(x) = x^2 + 7x
k^[n] désigne k o k o k o k... o k : itération n fois de k(x).



etc etc ... : il existe une infinité de solutions diverses et variées pour cette équation en h. Je ne sais pas si on sait les caractériser suffisamment pour en déduire que la seule qui marche encore pour l'équation initiale est h(x) = -x.

Si tu as trouvé une solution dans cette voie, merci de nous donner un ou deux trucs de plus (voire de nous donner ta solution complète)

--
Patrick

Bonjour à tous,

Voilà une solution qui me paraît rigoureuse. Il y a certainement plus simple et n'hésitez pas (surtout mathman) à donner une solution plus cool.

P(x,y) : f(x+yf(y)) = f(x) + xf(y)
P(x,0) : 0 = xf(0) ==> f(0) = 0
P(0,x) : f(xf(x)) = 0
P(xf(x),x) : f(2xf(x)) = f(xf(x)) + xf(x)^2 = xf(x)^2
P(2xf(x),x) : f(3xf(x)) = f(2xf(x)) + 2xf(x)^2 = 3xf(x)^2
P(3xf(x),x) : f(4xf(x)) = f(3xf(x)) + 3xf(x)^2 = 6xf(x)^2

et par récurrence :
Q(n,x) : f(nxf(x)) = n(n-1)/2 xf(x)^2

Alors :
Q(2,3xf(x)) : f(18 x^2 f(x)^3) = 27 x^3 f(x)^5
Q(9,2xf(x)) : f(18 x^2 f(x)^3) = 72 x^3 f(x)^5

et donc 27 x^3 f(x)^5 = 72 x^3 f(x)^5
et donc pour tout x non nul f(x) = 0
et, comme f(0)=0 :

f(x) = 0 pour tout x.


--
Patrick,
intéressé par toute solution plus simple

pco a écrit:

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

f(yf(y))=0
... f=0

f(xf(x)) = 0 n'implique pas f = 0.

exemple : f(x) = 0 sur {0, 1} et f(x) = 1/x ailleurs.

Donc, il en faudrait beaucoup plus pour montrer que la seule solution serait f=0.

--
Patrick

cette fonction vérifie-elle l'équation?
Où se trouve cette implcation : f(xf(x)) = 0 implique f = 0. Ce qui j'ai écris c'est : f(xf(x)) = 0 ... f = 0.

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

cette fonction vérifie-elle l'équation?
Où se trouve cette implcation : f(xf(x)) = 0 implique f = 0. Ce qui j'ai écris c'est : f(xf(x)) = 0 ... f = 0.

1) Non, bien sûr, cette fonction ne vérifie pas l'équation.
2) Non, bien sûr, tu n'as pas écris d'implication
3) Je te présente mes excuses pour cette erreur d'interprétation de ma part.

J'ai cru que, après avoir indiqué f(xf(x)) = 0, tu passais à f(x) = 0 de façon immédiate et je trouvais que ce n'était pas immédiat.
Si tu te contentais de dire que f(x) = 0 était une solution, il n'y avait pas besoin de passer par f(xf(x))=0. la solution f = 0 est une solution évidente immédiate.

Si maintenant ton message indiquait que tu possédais une démonstration conduisant de f(xf(x))=0 à f(x)=0 (les ...), je suis très intéressé à la voir.
Comme je l'indique, je trouve ma propre démonstration peu naturelle. et suis intéressé bien sûr.

--
Patrick

Voici une autre démarche:

f(xf(x)-xf(-x))=xf(x)f(-x)
f(-xf(-x)+xf(x))=-xf(-x)f(x)

==> f(x)f(-x)=0

..... f=0

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

Voici une autre démarche:

f(xf(x)-xf(-x))=xf(x)f(-x)
f(-xf(-x)+xf(x))=-xf(-x)f(x)

==> f(x)f(-x)=0

..... f=0

Alors là chapeau! Il reste une dernière étape pour conclure f = 0.
f(2xf(x)) = xf(x)^2
f(-2xf(x))= 3xf(x)^2
Comme l'une au moins de ces deux valeurs est nulle, alors f(x) = 0

Vraiment bravo. je suis impressionné (j'avais cherché longtemps !)


--
Patrick