Problème d'Octobre 2008

Soit r dans ]0,1[. On définit une suite (u_n) de réels par:
0<u_0=<u_1 et u_(n+2)=u_(n+1)+r^n u_n pour tout n dans IN

1. Montrer que (u_n) converge dans IR. Soit l(r) sa limite.
2. Donner un équivalent de u_n-l(r).

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J'ai reussi a faire la 1ere question cependant j'ai souffert disons pour trouver la 2eme mais en vain , de toute façon je suis encore entrain de chercher.

Je signale pour nos chéres lycéens que le probl"me est assez simple
ind: on poura utiliser le th de Césaro
bonne chance

apparement le probléme parait résolvable du premier par coup césaro , toutefois on effectuant de simple calcul tout en utilisant une autre notion inaccessible aux eleves de lycée je suis parvenu a determiné l'equivalent de Un - l(r) . je ne nie pas que la resolution de ce probleme s'avere embarassente car on n'est confronté a deux choix ; se restreindre au connaisance du lycée ou faire appel au petite proprieté de sup.

est ce ke kelkun pouré me dire pourkoi jai debutant car je viens de minscrire et d'autre ki non meme pas trouver lequivalent ont EXPERT SUP alors ke je suis en spé

se3dat lmaroc b ses eleves de spé ^^

gauss ! il ne vont tout de meme pas devinner que tu es en spé ! mais ca depend du nombre de messages sur le forum par exemple si tu post 50 messages tu devient féru ... . un peu plus tu es maitre .... .
mais svp j'ai une question comment savoir la solution de ce probleme ?? et aussi celle des autres ??

Salut merci pour vos sympayhiques reponses.
Bon pour apporter un petit coup de pouce au futurs taupins je propose un cours sur les notions de comparaisons des suites: suite négligeable devant... suite dominée par... suites équivalences qui est un chapitre trés important dans les suites numériques et dont la maitrise permet la determination d'equivalents de suites . D'autre part si vous etes interesse par le lemme de CESARO alors je pourrais postez une demonstration de ce dernier que je veillerais a demontrer rigoureusement . Et comme ce dernier utilise la definition de limite tant evite par nos lyceens eh bien j pouré aussi rappelé ces definitions pour le cas dé suitte et ou fonctions . POUR CELA JE VOUS DEMANDE DE LE SIGNALER SUR CETTE PAGE SACHANT QUE CEUX D'ENTRE VOUS QUI ASSIMILERONT SURTOUT LES NOTIONS DE COMPARAISONS PEUVENT SURPASSER TOUS LES PROBLEMES DE LIMITES SUITES OU AUTRE EN BAC CAR CE CHAPITRE EST LE PRELIMINAIRE DES FAMEUX DEVELOPEMENTS LIMITES.
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Apres un petit jour de reflexion

En ce qui concerne le probléme voici mes premieres impressions et resultats auquels j'ai abouti et que vous pourrez essayer de verifier bien sur :

Ces resultats sont proposes comme questions complementaires au sujet et qui pourons vous etre utile:

Soit n £ IN et 0<r=<1

a) montrer que Un+1 ~ l(r).[ 1+ r^n ]

b) on pose Vn= Un+1 \ Un

# mq lim (Vn) = 1

# mq Vn[( Vn+1) - 1] est geometrique

c) mq si Un verifie la relation recurentiel precedement definie alors:

il existe a , b £ IN tel que

Un = ab.[-(r^2) \ 2 ]^n avec U0 = a + b

Remarque : les modestes questions que j'ai poste represente une seconde demarche pour resoudre le 2 , sans avoir recours au notions de comparaisons , ca necessite seulement le programme de lycee . La derniere question peut etre un peut delicate mais si vous le constater il sagit dune relation simplifiee liant (Un) et r [ je nai pu trouver plu simple ] qui pourra aider a determiner l'equivalent demandee .
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