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 exo 2

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aymaneh53
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MessageSujet: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 11:45

a,b,c appartiennent à R*+

Demontrez que a+b+c=1 implique (1/a)+(1/b)+(1/c) >= 9

En deduire que a+b+c=1 implique sup(1/a,1/b,1/c) >= 3
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 12:05

utulise cauchey-shwartz
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 12:15

aymaneh53 a écrit:
a,b,c appartiennent à R*+

Demontrez que a+b+c=1 implique (1/a)+(1/b)+(1/c) >= 9

En deduire que a+b+c=1 implique sup(1/a,1/b,1/c) >= 3
pour la deuxieme question:
supposons que
1/a, 1/b et 1/c sont tous inferieure a 3
donc:
1/a +1/b +1/c =<9 ce qui n'est pas juste:
d'ou au moins l'un de ces nombres est supperieure a 3
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 12:51

topmath tu peux nous expliquer comment utiliser linegalité de
cauchy shwartz
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 13:13

(a+b+c)(1\a+1\b+1\c)>= (Va\Va + Vb\Vb+Vc\Vc)²
1\a+1\b+1\c>=9
CQFD
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 13:55

sans utiliser caushy :

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b

on sait que a/b+b/a >=2

donc 3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b>=3+2+2+2=9
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 14:02

memath c justee !!! mais aurais tu une idee sur le 2eme question?
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 14:25

la reponse de mathmaster est juste.
tu peux la montrer par absurde :
evidement si 1/a<3 et b<3 et c<3 donc 1/a+1/b+1/c<9 ce qui est contradictoire avec ce qu on vient de montrer dans la premiere question.

ou bien une autre methode :

on suppose que 1/a=sup(1/a,1/b,1/c) donc 1/a>=1/b et 1/a>=1/c

donc on a : 9=<(1/a+1/b+1/c)=<1/a+1/a+1/a=3/a

finalement on a 3/a>=9 <==> 1/a>=3 Wink
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MessageSujet: Re: exo 2   Mer 01 Oct 2008, 14:48

ah ok desolé mathsmaster jai pas fait attention à ta reponse merci encore
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MessageSujet: Re: exo 2   Aujourd'hui à 20:26

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