Limite en arctang

slt ,on vient de faire en classe l'Arctan,donc je ne connais pas encore bcp d'astuce ou de technique,voici une limite :



lim(x--------------->rac(3)/3) (arctan(x)-pi/6) / (x-rac(3)/3)

Salut light 2009 pour calculer cette limite je te donnerai une methode:
il est clair que arctan est une fontion continue et bijective de IR dans ]-pi/2;pi/2[ et sa fonction inversible est la tengente (tan).
alors soit x£IR:
lim(x---> x0) [(Arctan(x)-Arctan(x0))/x-x0] =L.
pour calculer L on pose x=tan(y) alors:
L= lim(y--> arctan(x0)=y0)[(y- y0)/tan(y)-tan(y0)]=cos²(y0)= 1/(1+x0²).
APPLICATION:
pour x0=rac(3)/3.
lim .... = 1/(1+(1/3)=3/4.
______________________________________________________________
LAHOUCINE
@++

non mais Mr Lahoucine ! on a pas encore etudier la derivation de arctan (1/1+x0^2) c'est ce que vous avez ecrit non ??

OUI en effet je crois qu'il a utilisé la derivé de arctang ,mais jai vu dans un exo que :cos(arctang x)=1/rac(1+x²) ...

alors n'ya t il pas une autre methode ?

light2009 a écrit:

slt ,on vient de faire en classe l'Arctan,donc je ne connais pas encore bcp d'astuce ou de technique,voici une limite :
lim(x--------------->rac(3)/3) (arctan(x)-pi/6) / (x-rac(3)/3)

A défaut de la DERIVATION , moi j'aurais fait comme celà !!
Je pose X=Arctan(x) avec X dans ]-Pi/2;Pi/2[ et x dans IR
Donc , ta limite sera la même que :
Lim { X-------->Pi/6 ; {X-Pi/6}/{Tan(X)-Tan(Pi/6)} }
laquelle serait égale à :
1/{Tan'(Pi/6)}=1/{1+Tan^2(Pi/6)}=9/12=3/4
et c'est tout simple !!!
J'ai utilisé la DERIVEE de la fonction Tan(.) seulement !!!
{Tan(.)}'=1+{Tan(.)}^2

mwé ,merci Mr LHASSANE !!

_Bigbobcarter_ a écrit:

non mais Mr Lahoucine ! on a pas encore etudier la derivation de arctan (1/1+x0^2) c'est ce que vous avez ecrit non ??

je suis DSL mais j'ai fait la derivation da la fonction x-->tan(x) seulement reviens à ma reponse et tu vas comprendre.
il est facile de montrer que cos²(arctan(x))=1/(1+x²).
en effet:
cos²(y)=1/(1+tan²(y)) et on pose y=arctan(x) on trouve le resultat.
et que x-->cos²(x)= 1/(tan'(x)).
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lahoucine

_Bigbobcarter_ a écrit:

non mais Mr Lahoucine ! on a pas encore etudier la derivation de arctan (1/1+x0^2) c'est ce que vous avez ecrit non ??

je suis DSL mais j'ai fait la derivation da la fonction x-->tan(x) seulement reviens à ma reponse et tu vas comprendre.
il est facile de montrer que cos²(arctan(x))=1/(1+x²).
en effet:
cos²(y)=1/(1+tan²(y)) et on pose y=arctan(x) on trouve le resultat.
et que x-->cos²(x)= 1/(tan'(x)).
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lahoucine