Equation pôlynomiale 2.

Trouver tous les P(x) € R[x] tels que:
P(x)P(2x^2) = P(x^3+x) pour tout x € R.

Bonjour,

Une solution un peu compliquée (comme d'hab) :

P(1)P(2) = P(2)
Si P(2) = 0, alors P(u_n)=0 pour tout élément de la suite u_0=2 et u_(n+1) = u_n^3 + u_n
Comme cette suite est strictement croissante, P aurait une infinité de racines ce qui implique que P(x) est identiquement nul ==> une première solution : P(x) = 0.
Si P(2) est non nul, alors P(1) =1

Soit alors un x_n dans ]0,2[ tel que P(x_n) = 1 (par exemple x_n = 1)
Il existe y_n, unique, tel que y_n^3 + y_n = x_n et, naturellement, 0 < y_n < x_n.
Soit z_n=2y_n^2. On a aussi 0 < z_n < x_n . En effet x_n - z_n = y_n^3 + y_n - 2y_n^2 = y_n(y_n - 1)^2 >0 (l'égalité ne serait possible que pour y_n = 1, donc x_n = 2, ce qui est impossible par hypothèse).
Donc :
y_n est dans ]0, x_n[
z_n est dans ]0, x_n[
P(y_n)P(z_n) = P(x_n) = 1
L'un au moins des deux nombres P(y_n) et P(z_n) est donc <= 1 et l'autre est >= 1. Il existe donc x_(n+1) entre y_n et z_n (quelles que soient les positions respectives de ces deux nombres) tel que P(x_(n+1)) = 1.

Evidemment 0 < x_(n+1) < x_n

Donc, la suite commençant à x0=1 et construite comme ci-dessus donne une infinité de valeurs x_n différentes et pour lesquelles P(x_n) vaut 1.

==> le polynôme P(x)-1 a une infinité de racines, et est donc identiquement nul.
==> P(x) = 1

Les deux seules solutions à l'équation demandée sont donc :
P(x) = 0
P(x) = 1

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Patrick

si a est une racine de p ===> a^3+a l'est aussi. Donc P est contant ....

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

si a est une racine de p ===> a^3+a l'est aussi. Donc P est contant ....

Bien sûr que non.
Ceci est vrai si tu peux prouver que la suite u0 = a, u_(n+1)=u_n^3 + u_n n'a pas de cycles.

Et tu peux prouver cela pour toute racine réelle non nulle.

Mais pour le prouver pour une racine complexe, cela me paraît autrement ardu !

Par exemple, (x^3 + x)^3 + x^3+x = x a 6 racines complexes qui pourraient très bien être candidates à p(x) = 0.

Tout ce que tu peux dire en une seule ligne est que P(x) ne possède pas de racines réelles non nulles (il faut plusieurs autres lignes pour exclure 0). c'est ce que j'utilise pour montrer que P(2) est non nul si P n'est pas identiquement nul.

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Patrick

Bonjour encore,

abdelbaki.attioui a écrit:

si a est une racine de p ===> a^3+a l'est aussi. Donc P est contant ....

Par exemple, avec l'équation fonctionnelle

P(x) (x^4 + 1) = P(x^3 + x), tu conclus P = 0

Or, P(x) = x^2 + 2 est solution.

Et la racine complexe i*racine(2) a un cycle quand on la transforme par x^3 + x :
i*racine(2) ==> - i * racine(2) ==> i* racine(2) ...

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Patrick