Bonjour,
Il est clair que si a, réel, est racine de P, a2+2 > |a| l'est aussi, et ainsi de suite. Donc P est identiquement nul ou n'a pas de racines réelles.
Eliminons le cas P(x) = 0.
P(x) est donc de degré pair et P(x) >0 pour tout x (P(x) et P(x+1) étant de mêmes signes, P(x^2+2) est positif).
Il est facile de voir que si P(x) est solution de degré n, alors a_n = 1 et chaque coefficient peut être obtenu de proche en proche ==> il existe au plus un polynôme solution par degré pair.
En identifiant au degré 2, on trouve P(x) = x^2 - x +2
Si P(x) est solution, P^n(x) est solution.
Comme il y a au plus une solution de degré 2n, c'est nécessairement (x^2 - x + 2)^n.
Les solutions sont donc :
P(x) = 0
P(x) = (x^2 - x + 2)^n
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Patrick
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