cos(pi/5)...=1/16

Montrer que

sssllllllllllt
a touus
voila
on a
cos(pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)=cos²(pi/5)*cos²(2pi/5)
c est parceque pi-3pi/5=2pi/5
et pi-4pi/5=pi/5
on a cos²(pi/5)*cos²(2pi/5)={1/2[cos(3pi/5)+cos(pi/5)]}²
en utilisant cosa*cosb
il suffit maintenant de prouvez que
cos(pi/5)+cos(3pi/5)=1/2
on a cos(pi/5)+cos(3pi/5)=2cos(2pi/5)*cos(pi/5)
=2sin(pi/10)*cos(pi/5)
=sin(pi/5)*cos(pi/5)/cos(pi/10)
=1/2*sin(2pi/5)/cos(pi/10)
puisque 2pi/5=pi/2-pi/10
sin(2pi/5)=sin(pi/2-pi/10)=cos(pi/10)
on deduit que
on a cos(pi/5)+cos(3pi/5)=1/2*cos(pi/10)/cos(pi/10)=1/2
et
cos²(pi/5)*cos²(2pi/5)=1/4*1/4=1/16
c ca
a+

stof065 a écrit:

sssllllllllllt
a touus
voila
on a
cos(pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)=cos²(pi/5)*cos²(2pi/5)
c est parceque pi-3pi/5=2pi/5
et pi-4pi/5=pi/5
on a cos²(pi/5)*cos²(2pi/5)={1/2[cos(3pi/5)+cos(pi/5)]}²
en utilisant cosa*cosb
il suffit maintenant de prouvez que
cos(pi/5)+cos(3pi/5)=1/2
on a cos(pi/5)+cos(3pi/5)=2cos(2pi/5)*cos(pi/5)
=2sin(pi/10)*cos(pi/5)
=sin(pi/5)*cos(pi/5)/cos(pi/10)
=1/2*sin(2pi/5)/cos(pi/10)
puisque 2pi/5=pi/2-pi/10
sin(2pi/5)=sin(pi/2-pi/10)=cos(pi/10)
on deduit que
on a cos(pi/5)+cos(3pi/5)=1/2*cos(pi/10)/cos(pi/10)=1/2
et
cos²(pi/5)*cos²(2pi/5)=1/4*1/4=1/16
c ca
a+

N=cos(pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)
multiplier N par 16sin(pi/5) et vous allez voir la magie

tu px terminé l exercice
je pense que sa marche po

stof065 a écrit:

tu px terminé l exercice
je pense que sa marche po

mais si ça marche b1 , remarque que 2sin(x)cos(x)=sin(2x)

wa je sais.j ai deja utilisé.
mais si tu est sure de ta réponse ecrit la pour qu on puisse bienn
comprendre.
a+

stof065 a écrit:

wa je sais.j ai deja utilisé.
mais si tu est sure de ta réponse ecrit la pour qu on puisse bienn
comprendre.
a+

N=cos(pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)
16sin(p/5)N=8[2sin(p/5)cos(p/5)]cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)
=4[2sin(2p/5)cos(2p/5)]cos(3pi/5)*cos(4pi/5)
=2[2sin(4p/5)cos(4p/5)]cos(3pi/5)
=2sin(8p/5)cos(3p/5)
=-2sin(3p/5)cos(3p/5)
=-sin(6p/5)=sin(p/5)
alors N=1/16

vooilllla
c ca
merciii

généralisation :
pour n entier > 0
on a
\prod_{k=0}^{n}cos(\frac{k\pi}{n})=\sqrt{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
prod_{k=0}^{n}cos(frac{kpi}{n})=sqrt{frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

merci bcp selfrect car moi j'essayer de trouver ça mais on m'a deja depassé comme je le vois, il y a cette formule domage

mais Mr selfrect ça donnera toujours 0 si n et paire

Conan a écrit:

mais Mr selfrect ça donnera toujours 0 si n et paire

si n pair ==> existe q< n tel que n=2q
alors
Produit =cos(pi/n)cos(2pi/n).....cos(qpi/2q).......=0

Conan a écrit:

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
prod_{k=0}^{n}cos(frac{kpi}{n})=sqrt{frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

merci bcp selfrect car moi j'essayer de trouver ça mais on m'a deja depassé comme je le vois, il y a cette formule domage

il ya une ptite faute de frappe ds le produit : k varie de 0 a n-1
tu peux la demontrer par les complexes (..

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
\prod_{k=0}^{n}cos(\frac{k\pi}{n})=\sqrt{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

et pour sin est quil ya une forme generale pour resoundre sinxsin2xsin3xsin4x.....sinnx n>0

badr a écrit:

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
prod_{k=0}^{n}cos(frac{kpi}{n})=sqrt{frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

et pour sin est quil ya une forme generale pour resoundre sinxsin2xsin3xsin4x.....sinnx n>0

oui ya cest la generalisation du pb de la semaine

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
\prod_{k=0}^{n}cos(\frac{k\pi}{n})=\sqrt{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

voila une autre formule de richard feynman

badr a écrit:

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
prod_{k=0}^{n}cos(frac{kpi}{n})=sqrt{frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

voila une autre formule de richard feynman

"tu peux la demontrer" (lidentité en haut est illisible) facilement en multipliant le produit par (2^n)sin(x)
et remarque 2sin(x)cos(x)=sin(2x)
tu vas trouvé que P=[sin({2^(n+1)})/2^n(sin(x)) ,x#kpi

oui c exacte

selfrespect a écrit:

badr a écrit:

selfrespect a écrit:

généralisation :
pour n entier > 0
on a
prod_{k=0}^{n}cos(frac{kpi}{n})=sqrt{frac{1+(-1)^{n+1}}{2^{2n-1}}

voila une autre formule de richard feynman

"tu peux la demontrer" (lidentité en haut est illisible) facilement en multipliant le produit par (2^n)sin(x)
et remarque 2sin(x)cos(x)=sin(2x)
tu vas trouvé que P=[sin({2^(n+1)})/2^n(sin(x)) ,x#kpi

oui on peut demontrez avec recurense qqsoit x>0

slt tt l monde
considerons A=cos(pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)
ona sin(pi/5)*A=1/2*sin(2pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)
donc sin(pi/5)*A=1/4*sin(4pi/5)*cos(4pi/5)*cos(3pi/5)
donc sin(pi/5)*A=-1/8*sin(3pi/5)*cos(3pi/5)
alors sin(pi/5)*A=-1/16*sin(6pi/5)
donc sin(pi/5)*A=1/16*sin(pi/5)
c ta dire A=16
d'ou cos(pi/5)*cos(2pi/5)*cos(3pi/5)*cos(4pi/5)=1/16
@++