problème N°97 de la semaine (03/09/2007-09/09/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Salam
solution postée.
voici la solution de selfrespect

salut Mr Samir ,
tt d'abord on sait bien qu un nombre abc (a base dix) est devisiblepar 3 i et seulement si :a+b+c=0[3]
ben le nombre quon cherche contient parmi ces chiffres un trois ,alors ls nombres qu on cherche sont ou bien de la forme (3ab) 1) ou {(a3b),(ab3)}2) telque a+b=0[3] *
* ==> a+b £{0,3,6,9,12,15,18}
on va distinguer les deux cas :
1) (3ab) avec : a+b£{0,3,6,9,12,15,18}
on trouvera 1+4+7+10+7+4+1=34
2) (axy) tel que (a#0 et a#3 et {x,y}£{3,b} et a+b in {3,6,9,12,15,18})
on trouveras :2x(2+6+8+6+4+1)-(1+1+1+1)=48
finalement i ya 82 nombre <1000 devisible par 3 et dont l'un de cs chiffres est trois .

salut
solution postée!
voici la solution de einshtein!
pour qun nombre de 3 chifres secrit a base de 10""xyz"" il ne doit pas contenir un zero tel que x=0 et pour quil soit multiple de 3 il faut que x+y+z=3k / k£N
et on a 0=<x<=9
et 0=<y<=9
et 0=<z<=9
et 0=<x+y+z<=27
donc 0=<3k<=27
alors 0=<k<=9
donc on va conpter les cas soit par denombrement ou comme ça c facile!

[0]*)1- k=0 =>x+y+z=0 impossible (x,y,z)£N^3
[1]*)2- k=1 =>x+y+z=3 donc on met x=3 (pske x et y et z jouent le meme role car on va faire tabdila)
y+z=0 et ça on un seul cas 300 .
[8]*)3- k=2 =>x+y+z=6 donc y+z=3:
y+z=3
1+2=3 "6 cas"
0+3=3 "2 cas"
[17]*)4- k=3 =>x+y+z=9
donc y+z=6
y+z=6
0+6=6 "2 cas"
1+5=6 "6 cas"
2+4=6 "6 cas"
3+3=6 "1 cas"
[25]*)5- k=4 =>x+y+z=12
donc y+z=9
y+z=9
0+9=9 "4 cas"
1+8=9 "6 cas"
2+7=9 "6 cas"
3+6=9 "3 cas"
4+5=9 "6 cas"
[18]*)6- k=5 =>x+y+z=15
donc y+z=12
y+z=12
3+9=12 "3 cas"
4+8=12 "6 cas"
5+7=12 "6 cas"
6+6=12 "3 cas"
[12]*)7- k=6 =>x+y+z=18
donc y+z=15
y+z=15
6+9=15 "6 cas"
7+8=15 "6 cas"
[3]*)8- k=7 =>x+y+z=21
donc y+z=18
y+z=18
9+9=18 "3 cas"
[0]*)9- k=8 =>x+y+z=24
donc y+z=21 "aucun cas"
[0]*)10- k=9 =>x+y+z=27
donc y+z=24 "aucun cas"

le nombre des multiples de 3 est : 84x2=164 (pske xyz £ Z)
jespere que c juste "sauf erreur de compter les cas"

assalamou 3alaykoum wa ra7matou allah ta3ala wa barakatouh

solution postée
voici la solution de taredhot
ona 7 cas pr ce nombre: 333,a33,3a3,33a,ab3,a3b,3ab tel que a=/=3 et b=/=3

1-pr 333 n(1)=1

2-pr 3ab on a 300+10a+b=3k (k appartenant a N) d'ou 10a+b divise 3. S(2)={0,6,9...(les nombres contenant 3 ne sont pas pris en compte)...99} trois nombre pr chaque dizaine sauf 30 dc n(2)=3*8=24

3 et 4-pr ab3 et a3b de meme n(3)=n(4)=n(2)=24

5-pr 33a=3k =>3/a => S={0,6,9} => n(5)=3

6 et 7- pr 3a3 et a33 de meme n(6)=n(7)=n(5)=3

finalement N=3*3+24*3+1=82

salut
solution postée
Salut Mr Samir

Voici la solution d'omis:
On c que

Un nombre devisible par 3<==> l somme de ces chiffes est devisible par 3
bon soit abc notre nombre du Pb<==> a+b+c=0[3]
et puisque l’un deux est 3 (soit c=0) donc on a à dénombrer les nombre a et b tel que a+b=0[3]
Mnt en utilise le dénombrement
(a,b,c) avec un est déjà connu :
En commence a donné une valeur à a avec 0<a<10 sans faire des répétition avec b
(1,2,3)*3 ! ;(1,5,3)*3 ! ;(1,8,3)*3 ! ;(2,4,3)*3 ! ;(2,7,3)*3 ! ;(3,0,3)*2 ! ;(3,3,3)*1 ! ;(3,6,3)*3 ! ;(3,9,3)*3 ! ;(4,5,3)*3 ! ; (4,8,3)*3 ! ;(5,7,3)*3 ! ; (6 ;0 ;3)*2 ! ;(6 ;6 ;3)*3 ! ;(6,9,3)*3 ! ;(7,8,3)*3 ! ;(9,9,3)*3 !
Alors si en calcule en va trouvé : 14*3 ! +2*2 !+1 !=89

Donc il en a 89 multiple de 3 avec 3chifre dont au moins et un 3.

Par omis

bonjour;
solution postée;)
voici la solution de callo
Bonjour mr samir,
Veuillez supprimer la première réponse et poster celle-ci :
x,y et z sont les chiffres d’un entier naturel n
donc x,y,z=<9

on suppose que z=3

n=xy3
ou n=yx3
ou n=3xy
ou n=3yx
ou n=x3y
ou n=y3x

on sait que : n=0 [3]
donc x+y+z=0 [3]
d’où x+y=0 [3]

on donne des valeurs à x pour trouver celles de y :
(on se contente des couples (x,y) car x et y sont symétriques par rapport à n)

(*) x+y=0 [3]

Donc (x,y) £ {(0,0) ;(0,3) ;(0,6) ;(0,9) ;(1,2) ;(1,5) ;(1, ;(2,4) ;(2,7) ;(3,3) ;(3,6) ;(3,9)
(4,5) ;(4, ;(5,7) ;(6,6) ;(6,9) ;(7, ;(9,9)}

Soit d(n) le nombre d’entiers naturels qui vérifient la propriété ci-dessus.

On va éliminer de d(n) ce qui suit :
5 éléments de chacun couples : (3,3) et (0,0)
4 éléments du couple (0,3)
3 éléments de chacun des couples (3,6) , (3,9) , (6,6) , (9,9)
2 éléments de chacun des couples (0,6) , (0,9)


Donc

d(n)=19*6-k

tels que :
19 : le nombre de couples (x,y)
6 le nombre des cas de n
k le nombre d’eliminations

d(n)=19*6 – 30 = 84

le nombre d’entiers qui vérifient la propriété est 84

salut et merci
solution postée
voici la solution de othman4u
..........................................................

salut

le nombre est construit au moins d’une 3. on pose P est une solution et S l’ensemble des solutions

*le premier cas : 3 de 3 , il y a une seule solution qui est 333

*deuxième cas : il y a deux 3

P=ch1ch2ch3 , ch= chiffre et on suppose que c'est ch1 et ch2 qui sont 3 .

Ch1+ch2+ch3=3k donc ch3=3k’

D’ou ch3= 0 ou 6 ou 9 (on néglige 3 parce qu’on va revenir au premier cas)

Donc les solution de ce cas sont 8 : {336,363,633,339,393,933,303,330}

*troisième cas : il y a une seule 3 dans le nombre

P=ch1ch2ch3 . on pose que c’est ch1 qui est 3

ch1+ch2+ch3=3k ch2+ch3=3(k-1)=3k'

on pose que ch2ch3 construit un nombre P0 de deux chiffres

10=<P0=<99 et qui est multiples a 3

les multiples de 3 qui satisfais la condition 10=<P0=<99 sont=30 éléments

:{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99}

et ici on commence a l’élimination

(1- tout chiffre comportant une 3 va nous mener au premier cas ou au deuxième

(2- deux nombre qui sont construit de les même deux chiffre , par exemple 12 et 21 puisque lorsqu’on ajoute une trois ça va donner les même 6 cas 6=3 ! )

donc il nous reste {21, 42, 51,54,60, 66, 72,75,81,84,87,90,96,99}=14élements

pour les deux nombres(99 ,66 qui sont construit du même chiffre, on a 3 cas 663,636,366, pour chaque nombre}=6 cas pour ces deux chiffre

pour les deux nombres{60,90} on élimine le cas ou il y a 0 comme premier chiffre , alors 4 cas pour chaque nombre =8 cas pour les deux nombre

et pour les dix éléments qui restent 3 !=6 pour chaque nombre

et on ajoute le dernier cas 300

donc pour ce cas il y a = 6*10 + 8 +6 =74

d’ou S comportent 74+8+1+1=84 éléments

slt
solution postée
voici la solution de mni
slt samir
1er cas :les trois chiffres sont des trois
alors ce qui va nous doner S1=333

2eme cas:deux chiffres sont des trois
abc est le nombre decimal
2.1:b=c=3
a+b+c=3k
a=3k-6
a=3k*
1<a<=9
1/3<k*<=3
k*£N k prend les valeurs 2;3 puique a differe de 3
a=6 ou a=9
la mm chose pour b et c dans 2.2 et 2.3
donc en bref S2=633;933;363;393;336;339

3eme cas un seul chiffre est un trois
3.1: c=3
a+b=3k*
a differe de 3k se ki veut dire que a secrit sur 3k+1ou 3k+2
si a secrit sur 3k+1 donc apres des calculs on trouve que b secrit sur 3k+2 et visversa
3.1.1:a secrit sous la forme 3k+1
1<=3k+1<9
apres des calculs on trouve que a=1 ou a=7
et b=2 ou 8
donc S3.1.1=123;183;723;783
en fait la mme chose dans le cas 3.1.2 :a secrit sous la forme a=3k+2
dans ce cas a aura les solutions de b dans le cas 3.1.1 et b aura les solutions de a dans 3.1.1 donc
S3.1.2=213;813;273;873
donc dans S3.1=123;183;723;783;213;813;273;873
cas 3.2 a est un trois
dans ce cas b et c joueroont le mm role de a et b dans 3.1
donc les solutions seront
S3.2=312;318;372;378;321;381;327;387
la mm chose dans le cas 3.3 b est un trois
S3.3=132;138;732;738;231;831;237;837
donc
S3=s3.1U S3.2 U S3.3
S3=123;183;723;783;213;813;273;873;312;318;372;378;321;381;327;387;132;138;732;738;231;831;237;837



en bref

S=S1US2US3

S=333;633;933;363;393;336;339;123;183;723;783;213;813;273;873;312;318;372;378;321;381;327;387;132;138;732;738;231;831;237;837

solution postée
(solution non trouvée parmis mes mails )(administration )

solution postée
voici la solution de m & m
on cherche tout les multiples de 3 qui s'écrivent avec exactement 3 chiffres :

3.33=99 et 3.34=102
3.333=999 et 3.334=1002

on met xyz les trois chiffres qui composent les multiples de 3 .
ex: 999
xyz (z et le nombre des unités)

alors:
102 < xyz < 999

3.a =xyz et 34 < a < 333

a sera composer oubien de deux chiffres oubien de trois chiffres .

a = XY oubien a = ZXY ( Y le nombres des unités)


xyz = les multiples de trois qui s'écrivent avec exactement 3 chiffres dont au moins un est 3 :

pour que z=3 il faut que Y = 1

3 . (tout les nombres 34< ZXY <333 qui ont Y = 1 ) = xy3

pour que y=3 il faut que X = 1 et 1<= Z <= 3 (Z £ IN)

3. ( tout les nombres 34< ZXY <333 qui ont X = 1 et 1<= Z <= 3 (Z £ IN)) = x3z

pour que x=3 il faut que Z = 1 et 1 <= X <= 3 et 1 <= Y <= 3

3 . ( tout les nombres 34< ZXY <333 qui ont Z = 1 et 1 <= X <= 3 et 1 <= Y <= 3 (dans IN)) = 3yz

entre tout les nombres trouver , on aura des multiples de 3 qui se répéte dans les trois cas et aussi des multiples de 3 qui s'écrivent avec trois chiffres dont deux sont 3 oubien trois sont 3 EX: 3 . 111 = 333


j'éspère pouvoir comprendre ma solution et merci d'avance.

Salut
Solution postée
voici la solution de yassine-mansouri
Salut M samir
dsl pour la faute dans le courier
voila ma deuxieme solution j'espere que cette fois sera juste
n=abc ou n=acb ou n=cab ou n=cba ou n=bca ou n=bac (abc n'est pas un produit a,b et c sont les chiffres de n avec a,b et c £ (0,1,2,3,...,9) )

On va prendre le cas ou n=abc
n est un multiple de 3 dont au moins un de ses chiffre est un 3
Alors il faut prendre 3 cas:
1- seulement un de ses chiffres est un 3 disant c
Sachant que a+b+c=3k
Donc a+b=3k' avec a#3 et b#3
Et puisque 0=<a=<9 et 0=<b=<9
Alors a+b £ (18 , 15, 12, 9, 6, 3,0)
a+b=18 ===> 1 solution possible :(9,9)
a+b=15 ===> 4 solutions possibles :(9,6) ( 8 ,7) (7,8 ) (6,9)
a+b=12 ===> 5 solutions possibles : (8,4) (7,5) (6,6) (5,7) (4,8 )
a+b=9 ===> 8 solutions possibles
a+b=6 ===> 6 solutions possibles
a+b=3 ===> 2 solution possibles
a+b=0 ===> 1 seul solution
2- deux chiffres =3 disant c et b
Alors a=3k'' ==> a=0 ou a=6 ou a=9 (deux solutions)

3-les trois chiffres =3 ===> n=333 (une seul solution)

Il ne reste que deux remarques:
-la première c'est que le cas ou n=abc c'est le même cas ou n=bac
Et même chose pour n=acb et n= bca et n= cab et n=cba
Parce que a et b jouent un rôle symétrique
Donc le nombre des solutions 3(1+4+5+8+6+2+1) +1

-la deuxième c'est qu'il faut ignorer les cas telles que n=abc et a=0 (6cas) et le cas ou a=b=c=0

Alors le nombre des solutions 3(1+4+5+8+6+2+1) +1-7=84
( Sauf erreur)

solution postéé
voici la solution de neutrino
Salut MR samir
Jé trouvé une longue méthode mais je crois que c’est la seule pour collège et etc

Posons x=abc

Si a=3 et b=3 x= 33c donc x/3 = 110 + c/3

Donc c= {0,9,6,3)

 x={ 330,339,336,333}

Si a=3 et c=3

x= 3b3 et x/3= 100 + ( 10c+3)/3 = 101 + 10c/3

donc b={ 0, 9,6,3}

 x= { 303,393 , 363, 333}

Si b=3 et c=3

Donc x= a33  x/3= 100a/3 + 11

Alors a={ 9,6,3}

 x= { 933,633,333}

Si a=b=c=3  x={333}

Si a= 3 alors x= 3bc et x/3= 100+ (10b+c)/3

Si b=0 c= { 0,3,6,9}  x={ 300 , 303, 306,309,}
Si b=1 c= { 2,5,8}  x={ 312,315,318}
Si b=2 c= { 1,4,7}  x={ 321 ,324,327}
Si b=3 c= { 0, 3,6,9}  x={ 330,333,336,339}
Si b=4 c= { 2,5,8}  x={ 342,345,348}
Si b=5 c= { 1,4,7}  x= { 351,354,357}
Si b=6 c= { 0,3,6,9}  x= { 360,363,366,369}
Si b= 7 , c= { 2,5,8}  x={ 372,375,378}
Si b= 8 , c= { 1,4,7,}  x= { 381,384,387}
Si b= 9 , c= { 0,3,6,9}  x={ 390,393,396,399}

Si b= 3 , alors x= a3c et x/3 = ( 100a + c)/3 + 10
Si a= 1 c= { 2 , 5, 8}  x={ 132 , 135,138}
Si a= 2 c= { 1,4,7}  x= { 231,234,237}
Si a=3 c= { 0,3,6,9}  x={ 330 , 333,336,339}
Si a= 4 c= { 2,5,8,}  x={ 432,435,438}
Si a=5 c= { 1,4,7}  x= { 531,534,537}
Si a=6 c={ 0,3,6,9}  x={ 630,633,636,639}
Si a=7 c= { 2,5,8}  x={ 732,735,738}
Si a=8 c= { 1,4,7}  x={ 831,834,837}
Si a=9 c= { 0,3,6,9}  x={ 930,933,936,939}

Si c=3 donc x=ab3
Et ona : x<= 993  x/3 <= 331
Donc x/3= { 331,321,311 ,301,291,281,271,261,251,241,231,221,211,201,191,181,171,161,151 ,141,131,121, 111, 101, 91,81,71,61,51,41}
 x={ 993, 963, 933,903, 873,843,783 ,753,723,693,663,633,603,573, 543,513,483,453,423,393,363,333,303,273,243,213,183,153,123}

Conclusion :
x={330,339,336,333, 303,393 , 363, 933,633, 393 , 363, 300 , 306,309, 312,315,318, 321 ,324,327, 342,345,348, 351,354,357, 360,366,369, 372,375,378, 381,384,387, 390,396,399, 132 , 135,138, 231,234,237, 432,435,438, 531,534,537, 630,636,639, 732,735,738, 831,834,837, 930,936,939, 993, 963, 903, 873,843,783 ,753,723,693,663,603,573, 543,513,483,453,423,273,243,213,183,153,123}

il ya environ 85 nombre ( jé pas bien conté)
sauf erreur

neutrino !!!

solution postée.
merci.
(solution non trouvée parmis mes mails )(administration )

solution postee
a+
voici la solution d'abelilah
Nous cherchons a et b \in {0,1,...,9} tels que a+b=0[3].
On pose a=i[3] et b=j[3] avec bien sur i,j\in {0,1,2}.
i,j=0 donnent a,b\in {0,3,6,9} ce qui donne 3.4^2 possibilites c a d 48.
et (i,j)=(1,2) donne (a,b)\in {1,4,7}x{2,5,8} ce qui donne 2.3.9 possibilites c a d 54 possibilites.
Le nombre totale des nombres possibles est 48+54=102.

Sauf erreur bien sur.

Abdelilah

solution poster
voici la solution d'ali20/20
alors recherchant combient des nombres ab
qui verfient a+b=3k
donc on a (a=<9 .b=<9)
alors etudiant le cas de abc puis heneraliser sur bac cab bca ....
a+b=0 =>1 solution (0.0)
a+b=3 =>2solution(3.0)(2.1)
a+b=6 =>4solution (6.0)(5.1)(4.2)(3.3)
a+b=9 =>5solution (9.0)(8.1)(7.2)(6.3)(5.4)
a+b=12 =>4solution (9.3)(8.4)(7.5)(6.6)
a+b=15 =>2solution (9.6)(8.7)
a+b=18 =>1solution (9.9)
alors on a (10)solution qui ont 6 probabilité (2.1)(5.1)(4.....(x.y)(x et y differnt de 0.3)
est 2 solution qu'ils ont 4 probabilité(6.0)(9.0) ((x.0) est x different de 3)
est 4 solution qu'ils ont 3 probabilité (6.6)(9.9)(9.3)..... ((x.x) est (x.3) x different de 3)
est une solution qui a 1 probabilité (3.0)
est 2 solution qui ont une probabilité (3.3)(0.0)
alors le nombre des nompbres cherche
6(10)+4(2)+3(4)+2(1)+1(2)=84
ali 20/20

les solutions des membres seront poster demain
A+