OK !
Je supposerai quand même que
n = dim(E) >= 2 vu que si E est une droite vectorielle il en sera de même pour £(E) ,
le seul hyperplan de £(E) dans ce cas est {0
£(E)} qui ne contient aucun isomorphisme de E.
Fixons nous alors une base B de E et remarquons que par le biais de l'isomorphisme canonique £(E) --> M
n(IK)
qui a tout endomorphisme f de E associe sa matrice dans la base B , le problème est équivalent à prouver que
tout hyperplan H de M
n(IK) contient au moins une matrice inversible.
Allons y :
Désigons par (E
ij)_
{1=<i,j=<n} la base canonique de M
n(IK) et distinguons deux cas :
(*) H contient toutes les matrices E
ij_{i#j} ,
il contiendrait alors la matrice E
21+E
32+E
43+..+E
n(n-1)+E
1n qui est inversible (c'est une matrice de permutation).
(*) H ne contient pas une certaine matrice E
rs avec r#s ,
alors H rencontre le sous-espace V (de dimension 2) de M
n(IK) engendré par E
rs et I
n (la matrice unité)
en au moins une matrice
non nulle M = a.In + b.Ers ,
il va de soit que
a#0IK (sinon E
rs serait dans H) ,
et
M est alors inversible d'inverse 1/a²(a.I
n - b.E
rs)
(sauf erreur bien entendu)
Remarque : je me demande si ce résultat reste vrai en dimension infinie
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