equation fonctionnelle (facile)

trouve tout les fonction strictement montone tel que
f0f......f(x)=x (f s'apparait n fois)

mohamed_01_01 a écrit:

trouve tout les fonction strictement montone tel que
f0f......f(x)=x (f s'apparait n fois)

s il existe x tq f(x)#x alors (f(x)>x ou f(x)<x) ==> f[n](x)>x ou f[n](x)<x
==> f[n](x)#x !!
f[n]=fofof..ofof n fois.
(plus amusant , aucun renseignement sur la monotonie de f )

selfrespect a écrit:

mohamed_01_01 a écrit:

trouve tout les fonction strictement montone tel que
f0f......f(x)=x (f s'apparait n fois)

s il existe x tq f(x)#x alors (f(x)>x ou f(x)<x) ==> f[n](x)>x ou f[n](x)<x
==> f[n](x)#x !!
f[n]=fofof..ofof n fois.
(plus amusant , aucun renseignement sur la monotonie de f )

Bonjour Selfrespect,

Ton raisonnement est malheureusement faux.

Tu peux dire que pour un x0 donné, si f(x0) est différent de x0, alors f(x0)>x0 ou f(0)<x0. Mais tu ne peux dire :
f(x0)<x0 implique f(f(x0))<f(x0) parceque tu n'as pas établi que f(x0)<x0 impliquait f(x)<x pour tout x.

Exemple : n=2 et f(x)=1-x
On a bien f strictement monotone et f(f(x))=x.


En fait, il y a des infinités de solutions à ce problème, et je ne pense pas qu'on puisse trouver une solution générale.
Par exemple, pour n=2 :
f(x)=a-x
f(x)=Exp(-x)-1 pour x<0 et f(x)=-ln(x+1) pour x>0
f(x)=-x^3 pour x<0 et f(x)=-x^(1/3) pour x > 0
etc.

--
Patrick

Bonjour pco ;

Pour n=2 , les involutions strictement monotones de IR ne sont autres que ses homéomorphismes involutifs.
Dans le groupe des homéomorphismes de IR ,
-la seule involution strictement croissante est l' IdIR .
-toute involution strictement décroissante se conjugue à -IdIR . (sauf erreur bien entendu)

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour pco ;

Pour n=2 , les involutions strictement monotones de IR ne sont autres que ses homéomorphismes involutifs.
Dans le groupe des homéomorphismes de IR ,
-la seule involution strictement croissante est l' IdIR .
-toute involution strictement décroissante se conjugue à -IdIR . (sauf erreur bien entendu)

Bonjour elhor_abdelali,

Je ne sais pas ce que tu appelles "se conjugue à -IdIR"

Mais mes exemples d'involutions strictement décroissantes me semblent bons. Se conjuguent-ils à -IdIR ? :

Exemple 1 : f(x)=a-x

Exemple 2 :
f(x)=exp(-x)-1 Pour x<0
f(x)=-ln(x+1) Pour x >= 0

Exemple 3 :
f(x)=-x^3 pour x<0
f(x)=-x^(1/3) pour x>0

--
Patrick

Si f : IR --> IR est une involution strictement décroissante alors on peut trouver un homéomorphisme g de IR
tel que f(x)=g^(-1)(-g(x)) pour tout réel x (sauf erreur)

elhor_abdelali a écrit:

Si f : IR --> IR est une involution strictement décroissante alors on peut trouver un homéomorphisme g de IR
tel que f(x)=g^(-1)(-g(x)) pour tout réel x (sauf erreur)

Oui, très clair, merci.
Et mes exemples sont bien effectivement de ce type.

Preuve :

Soit f : IR --> IR une involution strictement décroissante alors ,
- f est continue (facile à prouver)
d'où si on note g : IR --> IR , x --> f(x) - x on a ,
- g est continue
- g est strictement décroissante
- g(IR)=IR
donc g est bien un homéomorphisme de IR ,
et pour tout réel x on a , g(f(x))=fof(x)-f(x)=x-f(x)=-g(x) (sauf erreur bien entendu)

selfrespect a écrit:

mohamed_01_01 a écrit:

trouve tout les fonction strictement montone tel que
f0f......f(x)=x (f s'apparait n fois)

s il existe x tq f(x)#x alors (f(x)>x ou f(x)<x) ==> f[n](x)>x ou f[n](x)<x==> f[n](x)#x !!
f[n]=fofof..ofof n fois.
(plus amusant , aucun renseignement sur la monotonie de f )

pour demontre cela tu as besoin de dire que f est croisante donc la condtion de monotonie est neccesaire et b1 plus il te reste le cas de f decroisant qu'il va te donne que f(x)=-x

mohamed_01_01 a écrit:

b1 plus il te reste le cas de f decroisant qu'il va te donne que f(x)=-x

Malheureusement non.
Cela donne une infinité de cas, comme elhor_abdelali et moi l'avons montré dans nos messages précédents.

Bon , voilà ce que j'ai trouvé :

Si n#2 , la seule solution est l' IdIR .

Si n=2 , la seule solution strictement croissante est l' IdIR ,
et il y'a une infinité de solution strictement décroissantes toutes sous la forme g^(-1)o(-IdIR)og ,
où g est un homéomorphisme quelconque de IR . (sauf erreur bien entendu)

elhor_abdelali a écrit:

Bon , voilà ce que j'ai trouvé :

Si n#2 , la seule solution est l' IdIR .

Bonjour elhor_abdelali,

Non, pour n pair, toute solution de f(f(x))=x est aussi solution. Il y a donc bien d'autres solutions que IdIR

--
Patrick

C'est exact , pco :

Si n est pair les solutions de f^n=IdIR sont exactement celles de f^2=IdIR (sauf nouvelle erreur bien entendu)

elhor_abdelali a écrit:

C'est exact , pco :

Si n est pair les solutions de f^n=IdIR sont exactement celles de f^2=IdIR (sauf nouvelle erreur bien entendu)

Oui.
On peut donc résumer la réponse :

Si n est impair, la seule solution strictement monotone est f(x)=x
Si n est pair, les solutions sont exactement celles de f(f(x))=x, soit :
f(x)=x, seule solution strictement croissante
f(x)=g^(-1)(-g(x)) pour toute bijection g(x) strictement monotone de R dans R, ce qui donne toutes les solutions strictement décroissantes.

--
Patrick

Oui.

Tu viens ainsi de caractériser les éléments d'ordre fini du groupe des homéomorphismes de IR.