Exo

(ABC) est un triangle tel que
R est le rayon de son cercle inscrit
S est sa surface
P son périmetre
Montrez que : R=2S/P

Considérons ABC un triangle et O le centre de son cercle inscrit.
Soit I, J, et K les projetés orthogonaux respectives de O sur (AB), (BC), et (CA).
On a S(AOC)=(1/2)*OK*AC.
Donc S(AOC)=(1/2)*R*AC.
De même S(AOB)=(1/2)*R*AB.
Et S(BOC)=(1/2)*R*BC.
On a S(ABC)=S(AOC)+S(AOB)+S(BOC).
Donc S=(1/2)*R*AC+(1/2)*R*AB+(1/2)*R*BC.
Donc S=(1/2)*R*(AC+AB+BC).
Donc 2S=R*P.
Donc R=2S/P.
CQFD.

Bien joué !
merci pour ta réponse