89

Salut les amis,voici un joli exo!
f et g de [0,1]-->[0,1] tel que f et g sont continue on suppose que fog(x)=gof(x) montrer qu'il existe un a£[0,1] tel que f(a)=g(a).

Bonsoir red11
Pour ton exercice , je dirai que c'est l'un des plus difficiles exercices de TVI dans notre livre
parce que ça fait appel à des suites, monotonie ... et même de l'absurde !
Voici un lien de mathsland où nos amis l'ont traité http://mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=1&identifiant=34c0fc89bbcdd24f187e59c629821284
et un autre https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/point-fixe-commun-t1672.htm

Pour moi , j'avais bien remarqué que x|---->f(x)-x admet un point fixe mais le reste ....

on a f continue sur [0,1] tel que f([0,1])=[0,1] donc il existe un b et un c appartenant a [0,1] tel que f(c)=0 ; f(b)=1

on pose T(x) definit par T(x)=f(x)-g(x) continue sur [0,1]

T(b)=f(b)-g(b)=1-g(b)>=0
T(c)=f(c)-g(c)=-g(c)=<0

donc d apres le TVI on deduit que T(x)=0 admet au moin une sollution a dans [0,1] tel que

T(a)=0 f(a)-g(a)=0 --> f(a)=g(a)