N.C

MONTRER QUE
quelque soit (z,t)£ C*C
lz+tl=lzl+ltl equivau il existe un a de R+ TEL QUE z=at ou t=az

apres l'inegalite tranglaire on lz+tl<=lzl+ltl

est l'egalite avec t=kz k£R+

c est pas une dèmonstration ça

saiif3301 a écrit:

c est pas une dèmonstration ça

C'est vrai !!
Je vous propose ceci :
On pose z=a.exp(iu) et t=b.exp(iv) ( écriture traditionnelle des nombres complexes ) a et b sont les modules et u, v les arguments modulo 2Pi
Si f est un complexe , on notera F son conjugué .
Noter que f.F=|f|^2
Si |z+t|=|z|+|t|
On éléve au carré pour obtenir :
(z+t).(Z+T)={|z|+|t|}^2 soit
zZ+tT+zT+tZ=zZ+tT+2|z|.|t| d'ou ,après simplification ,
zT+tZ=2|z|.|t|=2a.b
Or zT+tZ=a.exp(iu).b.exp(-iv) + b.exp(iv).a.exp(-iu)
=ab.{exp(i(u-v)+exp(-i(u-v))}
=2abcos(u-v)
Par conséquent : 2a.b=2.a.b.cos(u-v)
Si on exclut les a=0 ou b=0 c'est à dire z=0 ou t=0 et pour lesquels le résultat demandé est trivial !!
Alors il reste le cas ou a.b<>0 , on simplifie pour obtenir :
cos(u-v)=1 donc (u-v)=o mod 2Pi
soit u=v mod 2Pi et de là
z=a.exp(iu) et t=b.exp(iu) donc z=(b/a).t
b/a est le coefficient qui fait l'affaire !!!
A+ BOURBAKI

je pense qu on vas donner a z=x+iy et t =X+iY

et tous ira bien inchae lah

Ayak a écrit:

je pense qu on vas donner a z=x+iy et t =X+iY

et tous ira bien inchae lah

en utilisant cette methode on aura bcp de variable je pense