.....

SOIT X1,X2......Xn(n>=3)DES REELS STRICTEMENT POSITIFS TEL QUE:
X1+X2+X3.........Xn=1
DEMONTRER QUE: (X1^2)X2 + (X^2)X3.........+(Xn^2)X1 <=4/27

en raisonant par recurence , le passage de n vers n+1 est trivial donc il reste à prouver le cas ou n=3.

Probleme:



Solution

sans perdre de generalité on suppose que a>=b>=c

on a donc :



par Bernoulli on a :



donc :



par AM-GM on a :



donc :



ce qui fini la preuve

TU AS RAISSONNé.....

salut Memath, pourquoi supposer que a>=b>=c, ce n'est pas juste.

pourquoi ce n est pas juste professeur ???!!!
on peut les classer les variables sans perdre de generalité

l'inégalité n'est pas symetrique,

le passage de n à n+1 est facile , mais pas triviale , je vais vs donner les pistes
on pose :
-- avec : x_(n+1)=x_1 --

essayer de montrer ( en supposont que x_(n+1)=min(x_1,.....,x_(n+1))) que : -- avec : x_(n+2)=x_1--

alors en posons t=x_n+x_(n+1) , il vient que :

en utilisant l'hypothèse de la récuurence on arrivera au résultat

Maintenant , passons au cas n=3:
Certes , l'inégalité n'est pas symétrique , mais on peut supposer que a>=b>=c , voici pourquoi :
S.P.G : soit a=max(a,b,c)
l'inég équivaut à :

ou encore:


mais :

alors l'inég devient :


si a>=c>=b
alors :
( car a=max(a,b,c) >= 1/3 )
il suffit de démontrer que :
( ce qui est trivial , car le discriminant est negatif)

Mnt on peut supposer que a>=b>=c
par Am-gm :

et :

alors il suffit de montrer que : a(1-a) + a^3/4 <= 8/27
<=> (8-3a)(3a-2)^2>=0 , clairement vrai, égalité avec : ( 2/3,1/3,0,0.....0) ou toute permutation cyclique ( sauf erreur)
A+

merci neutrino pour tes clarifications .
pr Mathmaster ; biensur que l inegalité n est pas symetrique mais comme l a expliqué neutrino on peut toujours ordonner les elements du fait que l ordre n est pas important dans cette situation puisque les differents cas menent à un seul resultat.

sinn , tjrs pour n=3 , jé trouvé une preuve plus jolie :
supposons que : a=max(a,b,c)
pr ts x,y de R+ , 4(x+y)^3/27 >= x^2y (la preuve avec Am-GM)

mnt : 4/27 *(a+b+c)^3 = 4/27 *( a+c/2 + b+c/2 )^3 >= (a+c/2)^2(b+c/2)
il suffit de Montrer que : (a+c/2)^2(b+c/2) >= a^2b+b^2c+c^2a
sans difficulté , on voit qu'elle équivaut à :
c( 4a(a-c) +8a(a-b) +c(c+2b) ) >=0 , clairement vrai d'après l'hypothèse

neutrino a écrit:

sinn , tjrs pour n=3 , jé trouvé une preuve plus jolie :
supposons que : a=max(a,b,c)
pr ts x,y de R+ , 4(x+y)^3/27 >= x^2y (la preuve avec Am-GM)

mnt : 4/27 *(a+b+c)^3 = 4/27 *( a+c/2 + b+c/2 )^3 >= (a+c/2)^2(b+c/2)
il suffit de Montrer que : (a+c/2)^2(b+c/2) >= a^2b+b^2c+c^2a
sans difficulté , on voit qu'elle équivaut à :
c( 4a(a-c) +8a(a-b) +c(c+2b) ) >=0 , clairement vrai d'après l'hypothèse

est ce que l'idée est généralisable , ( je crois que oui mais sa demande du calcul) , quelqu'un essaie..
btw : @memath : l'idée d'introduire Bernoullli est originale

merci mais pas comparable à ta derniere innovation de delta

je vous propose de demontrer la genralisation generalisée de cette inegalité :

soit :
avec :

montrez que pour tt k tel que :



j espere qu elle vous plaira !!