a+b+c = 1

soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c = 1

montrer que : a rac(b/c) + b rac( c/a) + c rac(a/b) >= 1

posant rac(a)=A . rac(b)=B . rac(c)=C
<=>A²B/C + B²C/A +C²A/B>=A²+B²+C²(avec A²+B²+C²=1)
c'est deja postée!!

stof065 a écrit:

posant rac(a)=A.rac(b)=B.rac(c)=C
<=>A²B/C + B²C/A +C²A/B>=A²+B²+C²(avec A²+B²+C²=1)
c'est deja postée!!

t sur que A²+B²+C²=1 ?!!
d'apres ce que tu a ecrit A=rac(a)/rac(b) et B=rac(a)/rac(c) et C=rac(a)
donc A²+B²+C²=a(1/b+1/c+1)=1?!!!

nn c A=rac(a)

je croyait que le point signifiait "multiplié par" il faut faire attention a l'ecriture!!

t'a pas le lien vers la soluce stof?

ok!*** je cherche!!

stof065 a écrit:

posant rac(a)=A . rac(b)=B . rac(c)=C
<=>A²B/C + B²C/A +C²A/B>=A²+B²+C²(avec A²+B²+C²=1)
c'est deja postée!!

keske ta utilisé?

on demontre que a²b/c+b²c/a+c²a/b>a²+b²+c²
on supose que a>=b>=c donc a=b+y et c=b-x x;y>=0
donc a²b/c+b²c/a+c²a/b>a²+b²+c²=
((b+y)²b/(b-x)+b²(b-x)/(b+y)+(b-x)²(b+y)/b
=(b+y)²+(b+y)²x/(b-x)+b²-b²(x+y)/(b+y)+(b-x)²+(b-x²)y/b
=a²+b²+c²+(b+y)²x/(b-x)-b²(x+y)/(b+y)+(b-x²)y/b
donc faut montre que
A=(b+y)²x/(b-x)-b²(x+y)/(b+y)+(b-x²)y/b>0
(b-x)²>b²-2xb) et (b+y)²>b²+2yb
donc A>=b²(x/(b-x)+y/b-(x+y)/(b+y)+2byx/((b-x)-2bxy/b
et puisque x/(b-x)>x/b donc
x/(b-x)+y/b>=(x+y)/b>(x+y)/(b+y) et b/(b-x)>1
donc 2byx/((b-x)>2xy d'ou on déduit le resultat

s'il te plait mohamed_01_01 tu peux un peu plus expliquer comment t'es passé de la ligne 4 a 5 ..

salut!
((b+y)²b/(b-x) = ((b+y)²(b-x+x))/(b-x) =[(b+y)²(b-x)+x(b+y)²)]/(b-x)
=(b+y)² +x(b+y)²/b-x
idem pour les autres..

a rac(b/c) + b rac(c/a) + c rac(a/b) >= 1/3(a+b+c)( rac(b/c) + rac(c/a) + rac(a/b) )

(chebychev)

rac(b/c) + rac(c/a) + rac(a/b) >= 3 (am-gm)


a rac(b/c) + b rac(c/a) + c rac(a/b) >= 1


facilllle

*youness* a écrit:

a rac(b/c) + b rac(c/a) + c rac(a/b) >= 1/3(a+b+c)( rac(b/c) + rac(c/a)+ rac(a/b)) )

(chebychev)

rac(b/c) + rac(c/a) + rac(a/b) >= 3 (am-gm)


a rac(b/c) + b rac(c/a) + c rac(a/b) >= 1


facilllle

Qu'est-ce qui te donne le droit d'utiliser Chebyshev?
Il faut d'abord que tu considères deux suites, qui devront être croissantes dans ce cas, si on considère a>=b>=c par symétrie des rôles, on aura pas: rac(b/c) >= rac(c/a) >= rac(a/b) pour tout a,b, et c réels strictement positives...Et donc c'est un raisonnement faux.