Inégalité facile !

salut
x,y,z>0
lol.

dsl ! j'ai un petit problème dans mon logiciel .

x y et z £ IR+ ?

Attention ! Je pense que plusieurs vont tomber dans des erreurs de méthodes en utilisant soit cheby ou réordone..!
pour vous guider voila une piste a+1/a>=2 tel que a£R+*.
Vous ne trouver pas de relation:x !!! je vous laisse réflechir!

BJR !


Par symetrie de Roles .. x>=y>=z>0

x²y>=x²z ---> x²y/z ≥ x²

z²x >= z²y --> z²x/y ≥ z²

y²z =< y²x --> y²z/x ≤ y² .. et La ou il ya une petit probleme ..

On a x>=y>=z>0 --> y/z≥1 et x/y≥1 .. Donc y/z + x/y + y²z/x ≥y² .. En sommant CQFD ..

slt,
posons A=x^2(y/z)+y^2(z/x)+z^2(x/y)
par symétrie des rôles on peut supposer x>=y>=z
on a donc (x-y)(y-z)(z-x)<=0 et en développant on obtient:
x^2y+y^2z+z^2y>=x^2z+y^2x+z^2y
en divisant successivement par z puis y puis x et en sommant A>= x^2(z/y)+y^2(x/z)+z^2(y/x)
par C.S
A*B>=(x^2+y^2+Z^2)^2 (B=x^2(z/y)+y^2(x/z)+z^2(y/x))
en conséquence A^2>=(x^2+y^2+z^2)^2 d'où le résultat.

L'inégalité est clairement fausse sans la condition que x >= y >= z

salimt a écrit:

slt,
...
par symétrie des rôles on peut supposer x>=y>=z
...

Attention,l'inégalité n'est pas symetrique,tu n'as rien à supposer !!

n.naoufal a écrit:

...
pour vous guider voila une piste a+1/a>=2 tel que a£R+*.
...

Je pense pas que ta solution soit correcte,s'il n'utilise pas la condition dèja citée.


Preuve:

(x²y/z +y²z/x + z²x/y)+(x²z/y +y²x/z + z²y/x) >= 2(x²+y²+z²)
il suffit de prouver alors que:
x²y/z +y²z/x + z²x/y >= x²z/y +y²x/z + z²y/x
ce qui est équivalent à:
x(y²-z²)+yz(y-z) >= 0
ce qui est vrai d'apres la condition.

n.naoufal a écrit:

Attention ! Je pense que plusieurs vont tomber dans des erreurs de méthodes en utilisant soit cheby ou réordone..!
pour vous guider voila une piste a+1/a>=2 tel que a£R+*.
Vous ne trouver pas de relation:x !!! je vous laisse réflechir!

Bjr Naoufal !

D'apres ton idee , on obtient :

x²[y/z+z/y]+y²[z/x+x/z]+z²[x/y+y/x]>2[x²+y²+z²]>x²+y²+z²

Mais je vois pas comment passer a l'inegalite , CaR On sais pas , si x²y/z > x²z/y et y²z/x > y²x/z et z²x/y > z²y/x .. tu vois !

Donc sans Reordonnement , je vois pas comment passer .. en attendant les reponses des membres !

Oui Rachid , exactly ..

bonsoir
évidement j'ai oublié de signaler qu'il y a un manque au niveau de condition! sinon ce qu'a fait rachid était le but de ma proposition!

salam:
si on la demontre par chebychev , ça ne marche pas meme si x,y,z joue des roles symetrique ,
mais la plus simple méthode ,c'est utiliser reordonement
(x²y/z)+(y²z/x)+(z²x/y) >= (x²z/z)+(y²x/x)+(z²y/y) =x²+y²+z²
=====> (x²y/z)+(y²z/x)+(z²x/y) >= x²+y²+z²

salùù
lol petite faute : x,y,z ne joue pas des rôles symétriques ^^

x²>=x² y²>=y² z²>=z²
y/z>=0 z/x>=0 x/y>=0
D'où x²*y/z>=x² et y²*z/x>=y² et z²*x/y>=z²
En faisant la somme on obtient ce qu'il faillait démontrer

nn c pas ça nours
il y a une erreur :

x^2 >= x^2
et y/z >=0

n'implique pas à :

x^2 * y/z >= x^2

mais plutot à :
x^2 * y/z >= x^2 * 0
>= 0

pour arriver à ce que tu as dis tu dois mantrer
que y/z et z/x et x/y >= 1
ce qui est pas juste ...

amicalement ...

pas de reponses jusqu'à le moment ???