my freind

montrer que toute hyperplan de £(E) contient un isomorphisme

Bonjour ;
E est-il supposé de dimension finie ?

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;
E est-il supposé de dimension finie ?

oui my freind dim(E) est fini

OK !
Je supposerai quand même que n = dim(E) >= 2 vu que si E est une droite vectorielle il en sera de même pour £(E) ,
le seul hyperplan de £(E) dans ce cas est {0£(E)} qui ne contient aucun isomorphisme de E.
Fixons nous alors une base B de E et remarquons que par le biais de l'isomorphisme canonique £(E) --> Mn(IK)
qui a tout endomorphisme f de E associe sa matrice dans la base B , le problème est équivalent à prouver que
tout hyperplan H de Mn(IK) contient au moins une matrice inversible.
Allons y :
Désigons par (Eij)_{1=<i,j=<n} la base canonique de Mn(IK) et distinguons deux cas :
(*) H contient toutes les matrices Eij_{i#j} ,
il contiendrait alors la matrice E21+E32+E43+..+En(n-1)+E1n qui est inversible (c'est une matrice de permutation).
(*) H ne contient pas une certaine matrice Ers avec r#s ,
alors H rencontre le sous-espace V (de dimension 2) de Mn(IK) engendré par Ers et In (la matrice unité)
en au moins une matrice non nulle M = a.In + b.Ers ,
il va de soit que a#0IK (sinon Ers serait dans H) ,
et M est alors inversible d'inverse 1/a²(a.In - b.Ers) (sauf erreur bien entendu)

Remarque : je me demande si ce résultat reste vrai en dimension infinie

Tiens ! C'est vrai même en dimension infinie

le lien ne marche pas

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-129243.html