slt

soient I un intervalle ouvert f:==>R une application dérivable sur I.

Montrer que f'(I) est une intervalle de R
merci

Bonjour ;
Notations :
T = { (x,y) £ I² , x < y }
A = { g(x,y) = (f(x) - f(y)) / (x - y) , (x,y) £ T }
Résolution :
(*) A = g(T) est un intervalle de IR car T est connexe (voir même convexe) et g est continue sur T.
(*) A est contenu dans f'(I) (théorème des accroissements finis).
(*) f'(I) est contenu dans l'adhérence de A (vu que pour tout x£I , f'(x) est la limite d'une suite d'éléments de A).
Pour conclure on utilise un résultat topologique classique (qui se montre facilement):
Toute partie (coincée) entre un connexe et son adhérence est connexe (sauf erreur bien entendu)

Voici une autre démo plus simple que celle d'El Hor
Soit z tel que f'(a)<z<f'(b)
On considère g(x)=f(x)-zx alors g'(a)<0<g'(b)
==> g n'est pas monotone
==> g n'est pas injective
==> il existent x1,x2 distincts tels que g(x1)=g(x2)
==> (Roll) il existe c tel que g'(c)=0
==> z=f'(c)

Effectivement Abdelbaki elle est beaucoup plus simple que la mienne

c est un classique : :heart:le theoreme de darboux

merci