entrezzzz!!

svp repondez moi viteeee !!

x et y sont des nombres reeles tel ke:

1<=x²-xy+y²<=2

montre ke: 2/9<=x^4+y^4<=8

2/ montre ke pour n de IN tel ke n>=3

on a x^2n+y^2n>=2/3^n

vs etes ou?!!

ouhhhh personne,!!!

poste d'autres exo pour cet exo j'y réfléchie depuis longtemps(exo du livre).

Pour x^4+y^4<=8:
1<=x²-xy+y²<=2
1+3xy<=(x+y)²<=2+3xy
1-xy<=(x-y)²<=2-xy
-2/3<=xy<=2
(xy)²<=4
1/3<=x²+y²<=4
x^4+2(xy)²+y^4<=16
x^4+y^4<=8
Pour l'autre partie à suivre(je vais manger)

bonsoir a tous,
1)- x²+y²=<2+xy
x^4+y^4+2x²y²=<4+x²y²+4xy
<=>x^4+y^4=<4xy+4-x²y²
<=>x^4+y^4-8=<-x²y²+4xy-4=-(xy-2)²=<0
<=>x^4+y^4=<8 (1)
on sait que 1/2(x²+y²)>=-xy
<=> 3/2(x²+y²)>=x²-xy+y²>=1
<=>x²+y²>=2/3
il est très facile de prouver que x^4+y^4>=1/2(x²+y²)²
donc x^4+y^4 >=1/2*4/9=2/9 (2)
de (1) et (2) ....
pour la deuxième question je trouve pas une solution sans theorème, la voilà si vous y êtes intéressé.

Spoiler: