Polynomes.

Trouvez tous les polynomes (leurs coefficients sont des nombres réels) pour les quelles:
(x-8 )P(2x)=8(x-1)P(x).

BSR à Toutes et Tous !!!
BSR Rachid !!!

Si tu poses P(X)=an.X^n+……………+a1.X+a0
Les coefficients a0,a1,……,an étant réels et le coefficient dominant an non nul ( Le polynôme P(X) est alors de degré exactement n )
Alors , un petit calcul donnerait pour les deux membres de cette égalité ( de chaque coté , le polynome est de degré n+1 ):
an.2^n .X^(n+1)+……=8.an.X^(n+1)+….
Et l’on devrait avoir par identification , un premier renseignement sur P(X) à savoir
8.an=2^n.an
et comme an<>0 alors nécessairement n=3.
Ainsi P(X) est OBLIGATOIREMENT de degré 3 ou égal au polynôme nul !!!!
Par ailleurs :
Si X=1 alors -7.P(2)=0
Si X=8 alors 56.P(8 )=0
Par conséquent 2 et 8 sont racines de P(X) et on devrait l’écrire
P(X)=(X-2).(X-8 ).(X-a)
Avec a à trouver !!!!! On le suppose unitaire sans restrictions .
On donnera à X la valeur 3 par exemple et on doit avoir :
(X-8 )P(2X)=8(X-1)P(X).
-5.P(6)=16.P(3)
soit 40.(6-a)=-80.(3-a)
d’où 480=120.a et puis a=4
Les solutions sont donc :
P(X)=b.(X-2).(X-4).(X-8 )
Avec b coefficient réel arbitraire pouvant etre nul .

Slt Mr Bourbaki,bonne methode,j'ai fait presceque la meme chose
(x-8 )P(2x)=8(x-1)P(x) ==>x( P(2x)-8P(x) ) =8( P(2x)-P(x) ),d'ou on doit avoir essentiellement que 8.an=2^n.an...,merci pour la reponse.

rachid benchlikha a écrit:

Slt Mr Bourbaki,bonne methode,j'ai fait presceque la meme chose
(x-8 )P(2x)=8(x-1)P(x) ==>x( P(2x)-8P(x) ) =8( P(2x)-P(x) ),d'ou on doit avoir essentiellement que 8.an=2^n.an...,merci pour la reponse.

Merci bcp Rachid !!
J'ai corrigé au passage des erreurs de calculs chez moi !!!!