Montrer f continue sachant lf(x)-f(t)l<lx-tl

on a f une fonction continue sur [a,b] jusqua [a,b]
(V(x,t)$ [a,b] ) lfx-ftl<lx-tl
montrer que f est continue sur [a,b]

$yantami

Titre édité

on montre que f est continue sur ]a,b[ puis à gauche de b à droit de a.
pour ]a,b[:
on a:lf(x)-f(t)l<lx-tl et la limite de lx-tl quand x tend vers t est 0.
donc lim de f(x)-f(t) quand x tend vers t est 0 donc lim_{x-->0}f(x)= f(t)
donc la fonction est continue sur ]a,b[
tu fais la même chose pour le reste et puis tu conclus .
A+

Salut "?" et salut à tous :
Donc en dit que f est continue en t ssi:
soit t£[a;b]:
pr tt x£[a;b] pr tt e>0 il existe n>0 (avec e>n): |x-t|<n => |f(x)-f(t)|<e.
alors il est clair que:
|x-t|<n=> |f(x)-f(t)|<|x-t|<n<e.
alors:pr tt x£[a;b] pr tt e>0 il existe n>0 (avec e>n) tel que |x-t|<n => |f(x)-f(t)|<e.
donc f est continue en t.
et puisque t translate dans l'intervalle [a:b] alors:pr tt t£[a;b] f est continue en t => f est cotinue sur[a;b].
C.Q.F.D
REMARQUE:
ce genre des fonctions sont dites les fonction 1-lipschiziennes et sont continue.
APPLICATION:
soit f(x) = sin(x).
alors il est facile de montrer que f est continue sur IR.
merci :p
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LaHoUcInE
@++

merci mathema mais une qeustion prq ta dis que e>n?

mais merci bcp mathema en tous cas