2 exos de T.V.I de cos et sin !

salut j'ai eu du mal a demontrer l'existitude d un nombre de IR tel que sin(cosx)<cos(sinx) (cet exo ma ete proposé par khatir123 mais je n'ai maheuresement pa pu le resoudre !!!)
le deuxieme c'est demontrer qu il existe un c UNIQUE dans IR tel que cosc=c ::: je sais que je dois demontrer que cosx=x n'admet aucune soution sur ]-00,-1[ et sur ]1,+00[ et puis trouver quelle admet une solution unique sur [-1,1] mais je me bloque la dessus ! alors aidez moi s'il vous plait !!! !! (demontrer que cosx=x n'admet aucune soution sur ]-00,-1[ et sur ]1,+00[)

2/on considere la fonction f(x)=cosx-x
f continue sur R et f'(x)=-(sinx+1)
on a pour tout x de R sinx € [-1.1]==>sinx+1€ [0.1] d'ou f'(x)<0qqsoit x de R
d'ou f strictement decroissante sur R et f bijection de R vers R
donc il existe un seul et unique x=c tel que f(c)=0 =+>cos=c
sauf erreur

salut L merci beaucoup pour ta repnse mais jaimerais que tu mexplique cette ligne :
on a pour tout x de R sinx € [-1.1]==>sinx+1€ [0.1] d'ou f'(x)<0qqsoit x de R

c [0.2] pardon pas [0.1]
donc sinx+1 >0 =>-(sinx+1)<0=>f'(x)<0==>f decroissante

pour la premiere je crois qu'il suffit de faire
sin(cospi/2)=sin0=0
cos(sinpi/2)=cos1)>0donc
cos(sinpi/2)>sin(cospi/2)
et on a prouve l'existence de ce d=pi/2 (meme si c'est valable pour pour tout x de R )

slt
je crois que c'est:
cos(sinx) > sin(cosx)

je ne t'ai pas compris khatir123,c'est ce qui est ecrit

mais pour tt x de IR!

rah l'énoncé est faux!

sayez g edité merci khatir123 ! et L !
aors pas d'idees ??

soit f(x)=cos(sinx)-sin(cosx)
verifions si f s'annule ou pas
cos(sinx)=sin(cosx)==>sin(pi/2-sinx)=sin(cosx)==>cosx=pi/2-sinx
cosx=pi/2+sinx
on sait que pour tout x de R /cosx*sinx/<1/2
la premiere equation donnera cosxsinx=pi²-4/8>1//2 donc S=ensemble vide
la deuxieme donnera cossinx=4-pi²/8<-1/2 donc S =ensemble vide
d'ou f ne s'annule en aucun point de R ==>f a un signe constant donc soit f(x)>0 pour tout x de R
ou f(x)<0 pour tout x de R
comme f(pi/2)>0 alors f(x)>0 pour tout x de R ==>cos(sinx)>sin(cosx) pour tout x de R
sauf erreur

aah oui bavo L !
je croyais qu'il etait demandé de demontrer grace au tvi quil existe AU MOIN un nombre reel pour le quel cos(sinx)>sin(cosx) mais appaement c'etait pr tt x de IR !!