TVI

Salut à tous
voici un bon exo pour vous

soient

et f est une fonction continue sur [0;1] et

démontrer que :

ne vous précipitez pas!
A+

h(x)=(a+b)f(x)-af(0)-bf(1) on a h est continue sur [0;1];

h(1)=(a+b)f(1)-af(0)-bf(1)
......=a(f(1)-f(0))

h(0)=(a+b)f(0)-af(0)-bf(1)
......=b(f(0)-f(1))=-b(f(1)-f(0))

h(0)h(1)=-ab(f(0)-f(1))²<0 d'après TVI.....

Salut Khatir
comment tu as su le signe de f(0)-f(1) ?

ce né pas question de signe + ou - f(0)-f(1)=-(f(1)-f(0)) donc le produit f(o)-f(1)fwa f(1)-f(0) est negatif

sami a écrit:

Salut à tous
voici un bon exo pour vous

soient

et f est une fonction continue sur [0;1] et

démontrer que :

ne vous précipitez pas!
A+

Pour une fois , c'est d'une autre manière que l'on va appliquer le TVI à l'application f !!!!
Avec tes hypothèses sur alpha et bêta , il est facile de vérifier que
le nombre réel A={alpha.f(0)+bêta .f(1)}/{alpha +bêta } est compris STRICTEMENT entre f(0) et f(1) , il suffit de vérifier que
{A-f(0)}.{f(1)-A}<0 ceci garantira que A est compris entre f(0) et f(1) .

Puisque f est continue sur [0;1] et qu'elle prend les valeurs f(0) et f(1) alors elle va prendre toute valeur comprise entre f(0) et f(1) , en particulier :
{alpha.f(0)+bêta .f(1)}/{alpha +bêta }
donc il existera c dans [0;1] tel que :
f(c)={alpha.f(0)+bêta .f(1)}/{alpha +bêta }

sami a écrit:

Salut Khatir
comment tu as su le signe de f(0)-f(1) ?

regarde mtn mon poste;

Salut Mr Lahssane
mais ici vous avez démontré que 0<f(c)<1 mais nous on veut démontrer que c'est c qui appartient à ]0;1[ ? ai je tord

sami a écrit:

Salut Mr Lahssane
mais ici vous avez démontré que 0<f(c)<1 mais nous on veut démontrer que c'est c qui appartient à ]0;1[ ? ai je tord

Pas du tout sami !!
Si par exemple f(0)<f(1) , j'ai vérifié que f(0)<A<f(1)
donc A appartient à f([0;1]) et de là A=f(c) avec c dans [0;1]

Oui je vois
Moi après qulques recherches et idées et inspirations j'ai songé au centre de gravité de 2 points pondérées dont les coefficient sont positifs
donc leurs centre (qui est f(c) dans ce cas ) est dilimité par ces deux points (qui sont f(1) et f(0)) et on a un segment car f(0) est different de f(1).
qu'en pensez vous ?

sami a écrit:

Oui je vois
Moi après qulques recherches et idées et inspirations j'ai songé au centre de gravité de 2 points pondérées dont les coefficient sont positifs
donc leurs centre (qui est f(c) dans ce cas ) est dilimité par ces deux points (qui sont f(1) et f(0)) et on a un segment car f(0) est different de f(1).
qu'en pensez vous ?

Précisément et c'est B1 vu sami !!
A est le barycentre des points {f(0),alpha} et {f(1),bêta}
et puisque les intervalles de IR sont convexes alors A se trouve entre f(0) et f(1) !!!!!!!!!

D'acc ^^ plus il y a de methodes plus c'est bien
Merci
A+

voila ma methode
puisque f est une fonction continue sur [0;1] donc il existe un a et un b appartient a [0;1] tel que f(a)=sup et f(b)=inf
on pose g(x)= alphaf(0) + betaf(1)-(alpha + beta)f(x)
alors g(a) = alphaf(0) + betaf(1) -alphaf(a)-betaf(a)
= alpha(f(0)-f(a)) +beta(f(1)-f(a)
alors g(a)<0
de meme on conclura que g(b)>0
donc TVI on conclura qu il existe un c de [a,b] supposant que b>a
pour que g(c)=0
et puisque [a,b]C[0,1] donc .......

est ce que ma reponse est juste????

? a écrit:

est ce que ma reponse est juste????

BJR à Toutes et Tous !!
BJR ? !!
OUI c'est celà !!
Ta Démo est bien JUSTE !!
La variante , c'est que tu as introduit le Maxf et le Min f qui sont atteints .

ok merci bcp ODL