ok voila :
x_1 est la solution de f1(x)=1 <=> x=1
donc x_1=1
x_2 est la solution de f2(x)=1 <==> x²+x-1=0
donc x_2=(V5-1)/2 car elle est entre 0 et 1.
2) on a pour tt x_n , x_n=<1
donc donc il existe y_n>=1 tel que , x_n=1/y_n
donc lim x_n^n=lim1/y_n^n=0 car limy_n^n=+oo
3) x_n(1-x_n)=(1-x_n)x_n(x_n^{n-1}+x_n^{n-2}+....+1)
=(1-x_n)(x_n^n+x_n^{n-1}+.....x_n)
=(1-x_n)(fn(x_n))
et puisque fn(x_n)=1 car x_n est la sollution unique de fn(x)=1 le resultat en decoule.
4) donc finalement on a :
x_n(2-x_n^n)=1
donc x_n=1/(2-x_n^n)
donc lim x_n= lim 1/(2-x_n^n)=1/2
et enfin on deduit tout simplement que x_n >=1/2 , car par une simple reccurence on peut prouver que x_n est decroissante.
Accueil 
