a²b+b²c+c²a=?

Soient a , b et c les racines de x^3-2x²-x+1 tels que a>b>c
calculer a²b+b²c+c²a

Bonsoir,

Je n'ai trouvé aucune astuce. Voilà donc une approche plutôt galère et BETON BETON, mais générale!

P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + u x^2 + v x + w

a^2b + b^2c + c^2a = [(a+b+c)(ab + bc + ca) - 3abc - (a-b)(b-c)(c-a)]/2
a^2b + b^2c + c^2a = [ -uv + 3w - (a-b)(b-c)(c-a)]/2

L'expres​sion(a-b)(b-c)(c-a) ne varie pas par translation et on peut passer en format x^3 + px + q par translation de u/3 :
On trouve : x^3 + x(v - u^2/3) + 2u^3/27 - uv/3 + w
Les formules de Cardan donnent alors (a-b)(b-c)(c-a) = +/- sqrt(-delta) avec delta = 27q^2 + 4p^3

Si a > b > c, il faut prendre la valeur négative : (a-b)(b-c)(c-a) = - sqrt(-(27q^2 + 4p^3))
Soit : (a-b)(b-c)(c-a) = - sqrt(-27w^2 - 4u^3w + 18uvw - 4v^3 + u^2v^2)

Et, au résultat :
P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + u x^2 + v x + w avec a > b > c
Alors : a^2b + b^2c + c^2a = [ -uv + 3w + sqrt(-27w^2 - 4u^3w + 18uvw - 4v^3 + u^2v^2)]/2

Dans le cas demandé : P(x) = x^3 - 2x^3 - x + 1 et donc u=-2, v=-1, w=1
Alors : a^2b + b^2c + c^2a = 4

Voilà.
Merci, bel_jad5, de nous donner une méthode plus simple si tu en as une.

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Patrick

Je pense que c'est bien pco. C'est calculer la quantité demandée en fonction des coefficients du poly. Il n'y en a pas 36 façons