pour a^-2 ou a^-p avec p entier positif. Dans la définition , de la puissance (entière) d'un element INVERSIBLE (donc non nul si le groupe est non réduit à 0) : x non est inversible , alors x^(-p) =(x^-1)^p qui est égal à
=(x^p)^-1 (par définition)
si on considère le groupe (Z , +) (entiers relatifs muni de laddition):
on a pour tout entier non nul n , n^p=n+n+n+.. p fois , p entier positif.
par définition , l'inverse de n suivant la loi + est -n
donc n^(-p) est par définiton -(n^p)) (loi addition)
si on considère maintenant le groupe (Q\{0} ,*) muni de la MULTIPLICATION
(on oublie la loi daddition pour Q\{0} mnt)
pour tout rationnel non nul x=a/b , x^p= x*x*x*x ... p fois , (c bien un produit , pas une somme comme avec Z)
par définition ,l'inverse de x suivant la loi * est (1/x , inversion de nombre ), donc x^(-p) est par définition 1/ (x^p) (loi multiplicaiton)
Ce que je voulais dire , c'est qu'il y a une notation qu'on a donne à la puissance d'un élément inversible d'un groupe , suivant la LOI de ce groupe .
a^(-2) , avec a réel , si tu prends Rcomme un groupe muni de la loi addition + , on utilise la première explicitation,
si tu le considère (R\{0})comme groupe muni de la loi * , on utilise la deuxième.
pour ce qui est de la puissance rationnelle d'un réel , je n'en connais pas une généralisation pour les groupes (ca ne veut pas dire qu'il n'existe pas) ,
mais , par exemple , pour a réel , on connait que a^x=exp(x*log(a))
si , on veut que la définition soit conforme avec l'utilisation de cette formule .
s'il y a des remarques , n'hésitez pas .
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