problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Je pense qu'il ya une faute de frappe dans le terme au milieu de l'énoncé

je l'ai corrigé
merci abdelbaki

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour

Soit A=(1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)² et B=(1+x)(1+y)(1+z)

A=3+x^4+y^4+z^4-2(x²+y²+z²)

x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)=1-2(xy+xz+yz)

x^4+y^4+z^4=(x²+y²+z²)²-2(x²y²+x²z²+y²z²)
x^4+y^4+z^4=1+4(xy+xz+yz)²-4(xy+xz+yz)-2(x²y²+x²z²+y²z²)

==> A=2+4(xy+xz+yz)²-2(x²y²+x²z²+y²z²)
==> A=2+2(x²y²+x²z²+y²z²)+8(x²yz+xy²z+xyz²)
==> A=2+2(x²y²+x²z²+y²z²)+8xyz

Alors A >= 2

B=1+x+y+z+xy+xz+yz+xyz=2+xy+xz+yz+xyz

La deuxième inégalité devient :
4(xy+xz+yz)²-2(x²y²+x²z²+y²z²)=<xy+xz+yz+xyz

Mais x²y²+x²z²+y²z²=(xy+xz+yz)²-2(x²yz+xy²z+xyz²)=(xy+xz+yz)²-2xyz
Alors ça revient à montrer que 2(xy+xz+yz)²+3xyz=<xy+xz+yz
<==> 3xyz=< (xy+xz+yz)(1-2(xy+xz+yz))=(xy+xz+yz)(x²+y²+z²)
<==> 3=<(1/x+1/y+1/z)(x²+y²+z²)

On a : x²+y²+z²>=3((x+y+z)/3)²=1/3 d'aprés la convexité de t -->t²
et 1/x+1/y+1/z=(1/x+1/y+1/z)(x+y+z)>=9 ( I.A.G)
D'où le résultat

A+

svp cet exercies me fais mal à la tete quand vous donner la reponce et ou merci d avance

crazyharrypotter a écrit:

svp cet exercies me fais mal à la tete quand vous donner la reponce et ou merci d avance

Pas de panique. Le lundi Incha allah tu auras la solution si Samir est disponible bien sûr!

Bonjour

Solution postée

voici la solution de Lotfi
Bonjour
je vais user des abreviations pour repondre au problème:
(IOE)=inferieur ou egal.(autrement dis_< ).
on a: 2[IOE](1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²[IOE](1+x)(1+y)(1+z).
x+y+z=0 et (x,y,z)apartient à IR*^3
donc (x,y,z) appartiennent à ]0,1[.

on a: (1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²=2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²).
et: (1+x)(1+y)(1+z)=2+xz+yz+xy+xyz.
on suppose que: (1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²[IOE](1+x)(1+y)(1+z).
<=> 2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)[IOE]2+xz+yz+xy+xyz.
<=>(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)[IOE]xyz.(*)

on a : xy+xz+yz-2(x²y²+y²z²+x²z²)=xyz(x+y+z)-(y.x^3+x.y^3+z.x^3
x.z^3+z.y^3+y.z^3).

avec: x+y+z=1.
donc: xy+xz+yz-2(x²y²+y²z²+x²z²)=xyz-(y.x^3+x.y^3+z.x^3
x.z^3+z.y^3+y.z^3).

(*)<=>xyz-(y.x^3+x.y^3+z.x^3+x.z^3+z.y^3+y.z^3)[IOE]xyz.
<=>y.x^3+x.y^3+z.x^3+x.z^3+z.y^3+y.z^3>_0.(superieur ou egal)
donc ce qu'on avait supposé est vrai.
alors: (1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²[IOE](1+x)(1+y)(1+z).

maintenant on suppose que: 2[IOE](1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)².
<=>2[IOE]2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²).
<=>2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)>_0.

on a pour tout x appartenant à ]0,1[ x²_<x. donc: 2x-2x²>_0.
donc cette proposition est vraie et ce qu'on avait proposé et aussi vrai.

Finallement: 2[IOE]2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)[IOE](1+x)(1+y)(1+z).

Si une égalité n'est pas clair je peux envoié un papier écrit à la main pour
être plus clair.

Merci
Lotfi

salut
solution postée
voici la solution d'eto
on pose x=a/(a+b+c)et y=b/(a+b+c) et z=c/(a+b+c)
la partie droite de linegalite est equivalente a
[(a+b+c)²-a²]²+[(a+b+c)²-b²]²+[(a+b+c)²-c²]²<=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)(a+b+c)
<=>3(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4
-2(a+b+c)²(a²+b²+c²)<=2(a+b+c)^4+(a+b+c)²(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)
<=>(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4<=(a+b+c)²[(a+b+c)²/2+(a²+b²+c²)*3/2]+abc(a+b+c)
<=>1/2*(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4<=(a+b+c)²*3/2*(a²+b²+c²)+abc(a+b+c)
<=>1/2*(a+b+c)²[(a+b+c)²-3(a²+b²+c²)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>(a+b+c)²(ab+bc+ca-a²-b²-c²)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca)(ab+bc+ca-a²-b²-c²)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>-(a²+b²+c²)²+2(ab+bc+ca)²-(a²+b²+c²)(ab+bc+ca)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>3abc(a+b+c)<=(a²+b²+c²)(ab+bc+ca)
<=>2abc(a+b+c)<=ba^3+ab^3+ca^3+ac^3+bc^3+cb^3
<=>2abc(a+b+c)<=ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)
il suffit de demonter la derniere inegalite pour tout a .b et c de R+
on a:
ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)>=2(a²b²+a²c²+c²b²)=a²(b²+c²)+b²(a²+c²)+c²(a²+b²)>=2abc(a+b+c)
la partie a gauche est equivalente a :
2(a+b+c)^4<=3(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4-2(a+b+c)²(a²+b²+c²)
<=>2(a+b+c)²(a²+b²+c²)<=(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4
<=>(a+b+c)²(a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca)<=a^4+b^4+c^4
<=>(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca)(a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca)<=a^4+b^4+c^4
<=>a^4+b^4+c^4+2a²b²+2b²c²+2c²a²-4(ab+bc+ca)²)<=a^4+b^4+c^4
<=>2a²b²+2b²c²+2c²a²<=4(ab+bc+ca)² ca qui est juste
eto

j ai rien compris svp quelque m envois un message privè merci d avance

salut c'est la première fois que je vois ce forum , je le trouves magnifique :
pour cet exercice j'ai une sollution à proposer que j'aimerai bien qu'un prof corrige au cas ou ya un point qui est pas exact :

bon j'ai dévisé l'encadrement en haut en deux inéquations :

(1) 2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)²

(2) (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² =< (1+x) (1+y) (1+z)

pour prouver la 1 ère inéquation :

soit Z le nombre réel (la soustraction ) : Z = (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - 2
alors je dois prouver que Z est positif :
Z = (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - 2
= (1-x²)² - 1 + (1-y²)² - 1 + (1-z²)²
= (1-x² + 1 ) ( 1-x² -1) + (1-y² + 1 ) ( 1-y² -1) + (1-z²)²
= x²(2-x²) + y²(2-y²) + (1-z²)²
et nous savons que x+y+z = 1 et que chacun des membres x , y et z est strictement positif
alors : 0<x<1 et 0<y<1 et 0< z<1
donc : x²<1 et alors : 2-x² >0
de meme pour y on obtient : 2-y² > 0
alors Z est positif .
équiveaux à dire : 2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)²

pour prouver la 2 ème inéquation :

On a : x+y+z = 1
donc : 1-x = y + z
On a aussi : 1 - x² = (1+x) (1-x)
= (1+x) (y+z)
de la meme façon : 1-y = x+z
et on a alors : 1 - y² = (1+y) (x+z)
aussi pour 1 - z² on obtient : 1 - z² = (1+z) (x+y)
et puisque : x+y+z = 1 et x>0 , y>0 et z>0
alors : x+y < 1 et x+z <1 et y+z < 1

alors : (1+z) (x+y) < (1+z) * 1 et (1+x) (z+y) < (1+x) * 1 et (1+y) (x+z) < (1+y) * 1
donc : (1-x²) < (1+x) et (1-y²) < (1+y) et (1-z²) < (1+z) ( on nomme cette ligne deduction A )

et on sait que pour tout X de l'intervalle [0;1] on a : X²<X
alors : (1-x²)² < (1-x²) et (1-y²)² < (1-y²) et (1-z²)² < (1-z²) ( on nomme cette ligne deduction B )

à partir des deux deduction A et B on conclu :

(1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1-y²) + (1-y²) + (1-y²) < (1+x) + (1+y) + (1+z)

et alors : (1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1+x) + (1+y) + (1+z)

alors les 2 inéquations prouvés , on a prouvé alors :

2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² =< (1+x) (1+y) (1+z)


merci de corriger si vous voyez que ya des fautes

je crois que j'ai trop détaillé

Oumzil a écrit:

à partir des deux deduction A et B on conclu :

(1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1-y²) + (1-y²) + (1-y²) < (1+x) + (1+y) + (1+z)

et alors : (1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1+x) + (1+y) + (1+z)

alors les 2 inéquations prouvés , on a prouvé alors :

2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² =< (1+x) (1+y) (1+z)

Je pense que c'est bon pour la première partie. Mais pour la deuxième, ce passage n'est bien compris , j'ai des doutes

dsl
je vais chercher une autre sollution

bonsoir
merci bcp monsieur abdelbaki attioui ,
voilà je propose une autre sollution pour la 2 ème inéquation :


nous avons : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = (1-x²+1-y²+1-z²)² - 2(1-x²)(1-y²) - 2(1-x²)(1-z²) - 2(1-y²)(1-z²)

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = [3-(x²+y²+z²)]² - 2[(1-x²-y²+x²y²)+(1-x²-z²+x²z²)+(1-y²-z²+y²z²)]

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = [3-(x²+y²+z²)]² - 2[3-2(x²+y²+z²)+(xy)²+(xz)²+(yz)²]

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = [9 - 6(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)²] - [6 - 4(x²+y²+z²) + 2(xy)² + 2 (xz)² + 2 (yz)² ]

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = 3 - 2(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)² ]

alors : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = 3 - 2(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - (2 + xy+ xz + yz + xyz)

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = 1 - 2(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

et puisque : x + y + z = 1 équivaux à dire : ( x+y+z )² =1 équivaux à dire : x²+y²+z² = 1- 2xy - 2xz - 2yz

alors : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = 1 - (1- 2xy - 2xz - 2yz) - (x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - (x²+y²+z²) + (2xy+ 2xz + 2yz ) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - (x²+y²+z² - 2xy - 2xz - 2yz) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - [ (1/2)(x-y)² + (1/2)(x-y)² + (1/2)(x-y)²] + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - [ (1/2)(x-y)² + (1/2)(x-z)² + (1/2)(y-z)²] + x^4 + y^4 + z^4 - ( xy + xz + yz + xyz )

et puisque : x^4 + y^4 + z^4 - ( xy + xz + yz + xyz ) < 0

alors : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) =< 0

est ce que tout est bon ?