exo en applicat°

harrast rasiiii m3a had exo wtgoul wach bgha yakhrajlia :s j'éspère b1 ke vous pouvez m'aideer:
na3tabir tatbi9ayn : f:E-->F & g:F---> G
1) bayin annaho ida kana gof tabayouni,fa2inna f tabayouni
2) .......................................chomouli , fa2inna g chomouli
3)bayyin anna
A: ida kana {gof tabayouni wa {f choumouli
fa2inna g tabayouni
B: ida kana
{gof choumouli wa {f tabayouni
fa2ina f choumouli
et merci d'avance ...

j'essayerai avec

Il me parait que cet exo est un peu facile !!
gof: E--->G
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gof est inective alors : quoi qu'il soit (a,b)de E² gof(a)=gof(b) => a=b
on peut la demontrer par Absurde
supposons que f est non injective alors il existe un couple (a,b) de E² tel que a#b et f(a)=f(b) alors a#b et g(f(a))=g(f(b))
ça veut dire que gof est non injective est c'est faut car on sait déjà que gof est injective
alors on peut conclure que f est injective
ça veut dire
gof est injective => f est injective
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gof est surjective alors quoiqu'il soit z de G il existe au moins un x de E tel que gof(x)=z
aussi par absurde
supposons que g est non surjective alors il existe un z de G tel que : quoiqu'il soit y de F : g(y)#z
est c'est contradictoire car nous avons que z = g(f(x))
alors g est surjective
ça veut dire :
gof est surjective => g est surjective

montrons que : gof injective et f surjective => g injective

gof est injective : quoi qu'il soit (a,b)de E² gof(a)=gof(b) => a=b
f est surjective : quoiqu'il soit y de F il existe au moins un x de E tel que:
f(x)=y
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soit (y1 , y2 ) de F² montrons que g(y1)=g(y2)=>y1=y2
y1 et y2 appartiennet à F alors ils existent x1 et x2 de E tel que
f(x1)=y1 et f(x2)=y2
alors g(f(x1))=g(f(x2)) ça veut dire gof(x1)=gof(x2)
alors x1=x2 => y1=y2
on conclut que g est injective

gof surjective et g injective =>f est surjective
gof est surjective alors quoiqu'il soit z de G il existe au moins un x de E tel que gof(x)=z
g est injective alors quoiqu'il soient (y1,y2)de F² g(y1)=g(y2) => y1=y2
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soit y de F alors il existe un z de G tel que g(y)=z
z de G alors il existe un x de E tel que gof(x)=z
g est injective alors f(x)=y
ça veut dire f est surjective ..........................