je vais vous donner un exo pareil avec un raisonement bien logique il suffit de tirer de lui les memes resultas.
Diophante choisit deux nombres entre 2 et 99. Il donne le produit à
Pierre et la somme à Sébastien. Quels sont ces nombres, demande-t-il ?
Pierre : Je ne peux pas les déterminer.
Sébastien : Je le savais.
Pierre : Alors je connais les deux nombres.
Sébastien : Maintenant, moi aussi.
Quels sont ces deux nombres ?
Diophante revient à la charge en choisissant à nouveau deux nombres
compris cette fois-ci entre 3 et 99. Même scénario que précédemment. Il
donne le produit à Pierre et la somme à Sébastien. Quels sont ces
nombres, demande-t-il ?
Le dialogue de Pierre et de Sébastien est rigoureusement le même que précédemment.
Quels sont ces deux nombres ?
Cas n°1 : 2 nombres choisis dans l'intervalle 2-99 On examine toutes les configurations possibles du
couple (P,S) en fonction des déclarations successives de Pierre et de
Sébastien.
Pierre : « Je ne peux pas les déterminer » Pierre ne peut pas répondre, car le produit P
n'est pas :
- un nombre premier,
- le produit de deux nombres premiers (ex : 65 = 5*13),
- le cube d'un nombre premier (ex : 27 = 3*9),
- le double du carré d'un nombre premier > 10 (ex : 338 = 2*13*13 = 13*26 ; la décomposition 2*169 est impossible),
- le multiple d'un nombre premier >50 (ex :244 = 4*61),
Les valeurs possibles de P sont donc :12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, etc??.
Sébastien : « Je le savais » Dès lors,
S n'est pas la somme de deux nombres dont le produit aurait été précédemment exclu par Pierre.
On peut donc éliminer toutes les valeurs de S qui sont la somme de deux
nombres premiers. Selon la conjecture de Goldbach, tout nombre pair est
la somme de deux nombres premiers. S est donc un nombre impair.
Quand S est impair, on peut exclure les cas où S = 2
+ nombre premier p car P = 2*p a une décomposition unique. De même, on
peut éliminer S = 51 car 51 = 17 + 34 et P = 17*34 n'a pas d'autre
décomposition.
Par ailleurs S
53.
En effet avec S > 53, S pourrait s'écrire sous la forme 53 + a et
dans ce cas Pierre pourrait avoir P=53*a qui est une décomposition
unique.
Les sommes possibles pour Sébastien se limitent donc à la liste: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53.
Le tableau ci-après donne pour chaque valeur de S les valeurs possibles de P.
Pierre : « Alors je connais les deux nombres. » Il n'y a plus d'incertitude possible pour Pierre et
il en résulte que le produit P apparaît une seule fois dans le tableau
ci-dessus. Ainsi 30=5*6=2*15 ne peut pas être une solution car il lui
correspond deux sommes 11 et 17. A l'inverse 28 convient car 28 = 4*7
est unique. Les nombres sur fond
jaune de ce tableau sont repris ci-après :
Sébastien : « Maintenant, moi aussi. » Cette réponse ne peut être faite que si pour une
somme de S, il y a une seule valeur possible de P. Il y a une seule
valeur de S = 17 à laquelle correspond P = 52. (nombres repérés en
vert)
Les deux nombres de Diophante sont donc 4 et 13. Nota
- si les nombres a et b avaient été choisis sur l'intervalle plus réduit 2-63, il n'y aurait pas eu de solution.
- la solution (4,13) est unique sur l'intervalle [64,867],
- il y a deux solutions (4,13) et (4,61) sur l'intervalle [868,1503] ,
- il y a trois solutions (4,13), (4,61) et (32,131) sur l'intervalle [1504,1968]..
David Pearson de l'Université de Dartmouth a observé
sans le démontrer que dans tous les cas, le plus petit nombre est une
puissance de 2 et dans la grande majorité des cas, le plus grand nombre
est un nombre premier.
Cas n°2 : 2 nombres choisis dans l'intervalle 3-99
L'unique solution est obtenue avec les nombres 13 et 16 de somme égale à 29 et de produit égal à 208.
Nota : il n'y a pas de solution si les 2 nombres a et b sont choisis sur un intervalle (k,l) avec k>3 et l entier quelconque.
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c toi qui a fait ca?. ma fhemt waloo. 