Pour les spés

.Soit f element de L(E) , E ev

Montrer que f est une homothetie dans les deux cas suivants :

1-(x,f(x)) liée avec x vecteur de E

2-kksoit g de L(E) gof=fog

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3) Soit (p_i)1<=i<=n une famille de projecteurs.

montrer que sum(p_i,i=1,n)=0 ==> kksoit i de [|1,n|] p_i=0

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4) Soit f g £ L(E) on suppose f diagonalisable

montrer que fog=gof <==> chaque sep de f est stable par g

Sujet restauré par Mr exodian95
Vraiment ce n'est pas une bonne attitude de supprimer ses postes!!!

f(x+y)=µ_(x+y). (x+y)=µ_x .x +µ_y.y
==> (µ_(x+y)-µ_x). x= (µ_y-µ_(x+y)).y.
On suppose que dim E>1, sinon il n y a rien à montrer.

3) 0 = tr(sum(p_i,i=1,n))= sum(tr(p_i),i=1..n) = sum(rg(p_i),i=1..n)
donc rg(p_i)=0, d'où le résultat.

Bonus!!
Mq {sum(p_i,i=1..n) est un projecteur} <=> {p_k o p_l=0, pour k,l différents}

Dsl, par inattention j'ai effacé un post de Mahdi dans lequel il dit que vous pouvez vous referer à Algèbre et géometrie de Jean Marie Monier (spé bien sur)!!