salut !
Concernant l'exercice 89 page 44 du manuel almoufid ... une éventuelle solution
Enoncé :" soit f et g deux fonctions de [0;1] vers [0;1] et continues sur |0;1]. on suppose que qqs x£[0;1] f0g(x)=g0f(x).
Montrez que f(x)=g(x) admet une solution dans [0;1].".
Posons h(x)=f(x)-g(x)
On veut démontrer que : ie ( c£[0;1] ) f(c)=g(c)
Par l'absurde , supposons que qqs x£[0;1] f(c)/=g(c) en l'occurence qqs x£[0;1] h(x)/=0
* pour h(x)>0 :
(qqx x£[0;1]) h(x)>0 ==> (qqx x£[0;1]) f(x)>g(x)
==> (qqx x£[0;1]) f0g0f(x) > g0g0f(x) ( pour x=g0f(x) )
==> (qqx x£[0;1]) g0f0f(x) > g0f0g(x) ( parcque qqs x f0g(x)=g0f(x) )
==> (qqx x£[0;1]) g0f0f(x) > f0g0g(x) (même chose )
Montrons qu'il existe un c tel que f0f(c)=g0g(c)
on considérant la fonction continue h : x/---> f0f(x)-g0g(x)
et comme f0f([0;1])=[0;1] alors on prend y tel que f0f(y)=0
et comme g0g([0;1])=[0;1] alors on prend z tel que g0g(z)=0
on a h(y)=f0f(y)-g0g(y)=0-g0g(y) =<0
h(z)=f0f(z)-g0g(z)=f0f(z) >= 0
h(y).h(z) =< 0 ... on en déduit qu'il existe bel et bien un réel c tel que f0f(c)=g0g(c)
Donc pour x=c dans "(qqx x£[0;1]) g0f0f(x) > f0g0g(x)" :
g0f0f(c) > f0g0g(c) ==> g0f0f(c) > f0f0f(c)
On pose A=f0f(c) ==> g(A) > f(A) contradiction avec h(x)>0 ..
Et on fait de même pour le cas h(x) < 0 .
(sauf erreur )
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